Esercizio di verifica

[matematicamenteparlando]

Salve a tutti ho il seguente esercizio:

Siano $f,g : A → R$, strettamente crescenti, ovvero $∀a,b ∈ A$ tali che $a < b$ si ha $f(a) < f(b)$ e $g(a) < g(b)$.

"La funzione $h_2 = f − g$ è strettamente crescente" Vero o Falso
"La funzione $h_3 = fg$ è strettamente crescente" Vero o Falso

Ora come faccio per dimostrarlo,devo fare delle prove con delle funzioni oppure c'è un modo per dimostrarlo in maniera formale?

Vi ringrazio per l'attenzione

[Frink1]

Direi che "maniera formale" is the way

Per la prima è piuttosto semplice: com'è definita $ f-g $ in maniera puntuale?

[matematicamenteparlando]

Cosa intendi per "com'è definita $f−g$ in maniera puntuale?" ?

[Frink1]

Cosa succede a un punto $ a $ se ad esso viene applicata la $ f-g $? Puntuale significa punto a punto...

[matematicamenteparlando]

penso che dovrò fare $f(a)-g(a)$ ?

[Frink1]

Eh, direi... E allora com'è $ f(a)-g(a) $ rispetto a $ f(b)-g(b) $ ? Ricordando le relazioni che hai, hai già la soluzione in mano

[matematicamenteparlando]

Scusami,quale relazione?

[Frink1]

Il fatto che se $ a

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[vict85]

"Frink":Direi che "maniera formale" is the way

Per la prima è piuttosto semplice: com'è definita $ f-g $ in maniera puntuale?

Io direi che è più facile la seconda, dato che la prima non ha...

Mentre la seconda è facilmente determinabile.

[matematicamenteparlando]

Io credo che $f(a)-g(a)$ è più grande rispetto a $f(b)-g(b)$

[vict85]

Non direi, e non vale neanche l'inverso. Nel testo le due funzioni dello stesso identico tipo e non comparate in nessun modo, quindi qualsiasi cosa vera o falsa che si dice su di loro deve poter valere se le scambiamo! Ed è immediato verificare che se noi scambiamo $f$ con $g$ in $h_2$ allora la trasformi in $-h_2$ e le due funzioni non possono essere contemporaneamente crescenti. Sei d'accordo?

In $h_3$ invece?

[matematicamenteparlando]

no scusami vict ma non ti seguo

[matematicamenteparlando]

Scusatemi ho ragionato in un modo:

se le due funzioni sono strettamente crescenti vuol dire che le loro derivate sono maggiori di 0 quindi la creando una funzione $h_2$ per vedere la sua crescenza dovrò studiare la sua derivata , cioè $f'-g'$ e quindi non posso stabilire con certezza che essa sia sempre positiva.

Può andar bene questo ragionamento?

[vict85]

Si e no: una funzione strettamente crescente potrebbe non essere continua in nessun punto.

Comunque puoi usare esempi.

Se $g = f$ allora $f-g = 0$ per ogni punto.
Se $g = 2f$ allora $f - g = f - 2f = -f$ che è decrescente per ogni punto.
Se $g = 1/2 f$ allora $f - g = f - 1/2f = 1/2 f$ che è crescente per ogni punto.
Quindi a seconda di come si sceglie $g$ si possono avere tutti e tre i casi.

[matematicamenteparlando]

Ok si ho rivisto po' l'argomento e mi è tutto più chiaro.

Grazie mille a tutti

[iH8u]

Per quanto riguarda la composizione ($f o g$), in modo 'formale', potrebbe essere: (?)

$ f $ è crescente, per cui, $∀x_1,x_2 ∈ A$ tali che $x_1 < x_2 $ si ha $f(x_1) < f(x_2)$
e
$ g $ è crescente, per cui, $∀y_1,y_2 ∈ A$ tali che $y_1 < y_2 $ si ha $g(y_1) < g(y_2)$

Sia ora, $ y_1 = f(x_1) $ e $ y_2 = f(x_2) $, essendo $ f $ crescente,
risulta che $ y_1 < y_2 $ e quindi $ g(y_1) < g(y_2) $$ =>$ $g(f(x_1) < g(f(x_2)$.

Pertanto $fog$ è strettamente crescente.