Esercizio di una serie con la $x$
Ho una gran confusione su come calcolare la $x$ affinchè una serie converga.
Ho provato con questo esercizio:
$(1/(n+1))*(x^n/(1+x)^n)$
$(1/(n+1)$ diverge
$(x^n/(1+x)^n)$ ho applicato il criterio della radice e facendo il limite, viene $1$ di cui nulla si può dire
come dovrei 'muovermi' su questa tipologia di esercizi?
esiste un trucchetto pratico per risolverli?
Grazie
Ho provato con questo esercizio:
$(1/(n+1))*(x^n/(1+x)^n)$
$(1/(n+1)$ diverge
$(x^n/(1+x)^n)$ ho applicato il criterio della radice e facendo il limite, viene $1$ di cui nulla si può dire
come dovrei 'muovermi' su questa tipologia di esercizi?
esiste un trucchetto pratico per risolverli?
Grazie
Risposte
Il trucchetto pratico, purtroppo, non c'è (ormai dovresti averci fatto l'abitudine - il trucchetto non c'è mai).
Si tratta di applicare i criteri di convergenza per le serie numeriche tenendo $x$ come parametro. Capita spesso (a occhio capita pure in questo caso) che dai criteri si stabilisca subito che per $x$ in un certo intervallo aperto la serie converge, che per $x$ all'esterno di questo intervallo la serie diverge, e resta indecisione per $x$ agli estremi. In quel caso si controllano "a mano" i due valori di $x$ per i quali c'è indecisione.
Nel caso in esame, prova ad applicare il criterio del rapporto. E un'altra cosa:
Non fartelo passare neanche per l'anticamera del cervello, mi raccomando.
Si tratta di applicare i criteri di convergenza per le serie numeriche tenendo $x$ come parametro. Capita spesso (a occhio capita pure in questo caso) che dai criteri si stabilisca subito che per $x$ in un certo intervallo aperto la serie converge, che per $x$ all'esterno di questo intervallo la serie diverge, e resta indecisione per $x$ agli estremi. In quel caso si controllano "a mano" i due valori di $x$ per i quali c'è indecisione.
Nel caso in esame, prova ad applicare il criterio del rapporto. E un'altra cosa:
$1/(n+1)$ divergeChe cosa volevi dire? Mica stavi pensando di studiare separatamente le serie $sum 1/(n+1)$, $sum(x^n)/(1+x)^n$, verooo?
Non fartelo passare neanche per l'anticamera del cervello, mi raccomando.
quindi usando il criterio del rapporto verrebbe:
$(x^(n+1))(1+x)^n/((1+x)^(n+1))(x^n)$
si semplifica e viene:
$x/(1+x)$
ora arrivato qui cosa devo fare?
dovrei considerare insieme a questo che ho trovato, anche $1/(n+1)$ ?
scusate se ancora non riesco a capire, ma mi sto impegnando a capire tali argomenti.
@dissonance, no, non pensavo di fare quella cosa lì, già ho imparato che 'moltiplicare' i caratteri di due sommatorie, è erratissimo.
$(x^(n+1))(1+x)^n/((1+x)^(n+1))(x^n)$
si semplifica e viene:
$x/(1+x)$
ora arrivato qui cosa devo fare?
dovrei considerare insieme a questo che ho trovato, anche $1/(n+1)$ ?
scusate se ancora non riesco a capire, ma mi sto impegnando a capire tali argomenti.
@dissonance, no, non pensavo di fare quella cosa lì, già ho imparato che 'moltiplicare' i caratteri di due sommatorie, è erratissimo.
"clever":Ricordati come funziona il criterio del rapporto. Intanto c'è un errore, dovevi mettere prima tutto in valore assoluto, il criterio del rapporto è un criterio di convergenza assoluta. Quindi il risultato trovato è $(|x|)/(|1+x|)$, da confrontare con $1$;
si semplifica e viene:
$x/(1+x)$
ora arrivato qui cosa devo fare?
quando $(|x|)/(|1+x|)<1$, succede che ... ;
quando $(|x|)/(|1+x|)>1$ succede che ... ;
e restano fuori alcuni valori della $x$, che devi sostituire uno alla volta nell'espressione della tua serie e studiare a parte.
Bravo.
@dissonance, no, non pensavo di fare quella cosa lì, già ho imparato che 'moltiplicare' i caratteri di due sommatorie, è erratissimo.
Se è $<1$ la serie converge
Se è $>1$ la serie diverge.
Ora quali sono i valori della $x$ da sostituire una alla volta?
Non va bene se dico che succede ciò per ogni valore della $x$?
Se è $>1$ la serie diverge.
Ora quali sono i valori della $x$ da sostituire una alla volta?
Non va bene se dico che succede ciò per ogni valore della $x$?
[EDIT]: Questo post è sbagliato.
Si, va bene, non mi ero accorto che in questo caso è più semplice. Quindi, per ogni $x$, la serie converge assolutamente.
[/EDIT]
Si, va bene, non mi ero accorto che in questo caso è più semplice. Quindi, per ogni $x$, la serie converge assolutamente.
[/EDIT]
Praticamente io dopo aver trovato $(x)/(x+1)$ il limite di questa 'funzione' è sempre $1$ qualsiasi valore che tu dai alla $x$
perchè $(x)/(x+1)$ $sim(x)/(x)$ giusto?
Quindi alla fine la risposta al quesito è che la serie converge assolutamente per ogni $x$ che si dà?
perchè $(x)/(x+1)$ $sim(x)/(x)$ giusto?
Quindi alla fine la risposta al quesito è che la serie converge assolutamente per ogni $x$ che si dà?
No, no, clever, scusa, è sbagliato. Devi risolvere una disequazione, $(|x|)/(|x+1|)<1$. Non ci credo se mi dici che non lo sai fare, quindi mettiti al lavoro e risolvi.
la disequazione (dal quale mi ricavo i valori della $x$ per cui è convergente la serie) è questa.
Posto il procedimento, se puoi dacci una occhiata:
$(|x|)/(|x+1|)<1$
a sistema 1:
$x>0$
$(x)/(x+1)<1
unito a questaltro sistema:
$x<0$
$(-x)/(-x+1|)<1$
il primo sistema diventa:
$x>0$
$x-1>0$
$x+1>0$
il secondo sistema diventa:
$x<0$
$2x-1>0$
$x-1>0$
la risoluzione del primo è: $x>1/2$
la risoluzione del secondo è: $x>1/2$
risoluzione totale è: $x>1/2$
va bene così?
Posto il procedimento, se puoi dacci una occhiata:
$(|x|)/(|x+1|)<1$
a sistema 1:
$x>0$
$(x)/(x+1)<1
unito a questaltro sistema:
$x<0$
$(-x)/(-x+1|)<1$
il primo sistema diventa:
$x>0$
$x-1>0$
$x+1>0$
il secondo sistema diventa:
$x<0$
$2x-1>0$
$x-1>0$
la risoluzione del primo è: $x>1/2$
la risoluzione del secondo è: $x>1/2$
risoluzione totale è: $x>1/2$
va bene così?
Mi pare che il risultato corretto sia $x<-1/2$. Senza fare conti, poni $f(x)=|x|, g(x)=|x+1|$. Il grafico di $g(x)$ si ottiene da quello di $f(x)$ applicando una traslazione verso sinistra di 1 ( li sai disegnare questi grafici rapidi? Se no, impara perché sono molto utili: c'è una pagina dedicata a questo sul sito http://www.batmath.it ). Le soluzioni della disequazione solo le $x$ per le quali il grafico di $f(x)$ "sta sotto" il grafico di $g(x)$, quindi (in nero $y=f(x)$, in rosso $y=g(x)$)
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=0; ymax=2; axes("label"); plot("abs(x)"); stroke="red"; plot ("abs(x+1)");[/asvg]
le $x$ maggiori di $-1/2$. Pertanto per $x> -1/2$ si ha convergenza assoluta. E per $x=-1/2$?
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=0; ymax=2; axes("label"); plot("abs(x)"); stroke="red"; plot ("abs(x+1)");[/asvg]
le $x$ maggiori di $-1/2$. Pertanto per $x> -1/2$ si ha convergenza assoluta. E per $x=-1/2$?
Io facendo per via analitica, avrò sbagliato sicuramente qualcosa....e non so cosa.
Per via grafica, si, lo usavo spesso a liceo, ma lo uso di rado, questa era semplice, per quelle più complesse avrei dovuto fare per via grafica o via analitica?
$x=-1/2$ viene una serie alternata del tipo:
$(-1)^n*(1)/(n+1)$ e se faccio il limite a $(1)/(n+1)$ va a $0$, è decrescente, e posso dire che converge.
se fosse stata solo del tipo $(1)/(n+1)$ potevo dire che era $sim(1)/(n)$ ed era divergente?
Per via grafica, si, lo usavo spesso a liceo, ma lo uso di rado, questa era semplice, per quelle più complesse avrei dovuto fare per via grafica o via analitica?
$x=-1/2$ viene una serie alternata del tipo:
$(-1)^n*(1)/(n+1)$ e se faccio il limite a $(1)/(n+1)$ va a $0$, è decrescente, e posso dire che converge.
se fosse stata solo del tipo $(1)/(n+1)$ potevo dire che era $sim(1)/(n)$ ed era divergente?
Si a tutto. Per quanto riguarda le disequazioni, il consiglio è ovvio: devi cercare di usare la strada più semplice. In questo caso la via grafica era semplicissima (non molto rigorosa però), quindi conveniva farla, non fosse altro che per controllare il risultato ottenuto per via analitica.
Comunque l'esercizio è finito. Si, se non ci fosse stato quel fattore $(-1)^n$ avresti avuto una serie divergente. Quindi, che tipo di convergenza hai per $x=-1/2$? Assoluta o no?
Comunque l'esercizio è finito. Si, se non ci fosse stato quel fattore $(-1)^n$ avresti avuto una serie divergente. Quindi, che tipo di convergenza hai per $x=-1/2$? Assoluta o no?
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