Esercizio di topologia

[Platone2]

Ciao a tutti ragazzi.
Ecco un esercizio di topologia che non riesco a risolvere; spero mi possiate aiutare.

Sia f una generica funzione continua da R^2 a R; dimostrare che esistono al più due punti con fibra finita.

ps. la topoloria su R e R^2 è quella naturale.

[Camillo]

Ciao anche a te Platone, e benvenuto nel Forum.
Mi spieghi che significa fibra finita ?

Camillo

[Sk_Anonymous]

La fibra di un punto dell'immagine di f e' la controimmagine di quel punto, denotata anche con f^(-1)(y).

Anzitutto f(R^2) e' un intervallo, poiche' R^2 e' connesso ed f e' continua. Sia y interno a tale intervallo (immagine di f); se f^(-1)(y) fosse finita allora l'immagine di f ristretta a R^2 - f^(-1)(y) sarebbe Im(f)-y. Assurdo, poiche' R^2-f^(-1)(y) e' connesso, mentre Im(f)-y no. Gli unici due punti che possono avere fibra finita sono quindi gli estremi dell'intervallo, inf Im(f) e sup Im(f).

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Platone2]

Grazie per la spiegazione Luca.
Dato che ci approfitto della tua fentilezza per porti una domanda di teoria:

se f è continua e bigettiva, chiusa e NON aperta, f può essere un omeomorfismo? in altre parole, se f non è aperta f^(-1) può essere continua?

[Sk_Anonymous]

Certo, gia' tra spazi metrici la continuita' di f e' equivalente all'apertura dell'"inversa", intendendo con cio' che f^-1(A) e' aperto per ogni A aperto nel codominio.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Platone2]

Scusa se sono un po' tonto, ma quindi la risp alla mia domanda è no?

[Sk_Anonymous]

Si', e' no, ovvero non e' sufficiente che f sia continua e biiettiva per far si' che anche l'inversa sia continua.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Platone2]

Si ma per essere non solo continua ma anche omeo, ho letto su qualche appunto che basta che f sia continua, biettiva e aperta o chiusa; ma dato che secondo la def deve anche essere f^(-1) continua, mi chiedevo come potesse essere continua se f è chiusa e non aperta.

[Sk_Anonymous]

f e' chiusa se e solo se e' aperta, basta usare la definizione di chiuso come complementare di un chiuso.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Platone2]

Non è vero; per esempio le proiezioni de R^n a R sono aperte e non chiuse, mentre le inclusioni se R^p a R^n (con p Apriori non c'è nessuna relazione (che io sappia) che permette di stabilire se una funzione è aperta (o chiusa) sapendo che è chiusa (o aperta).

Giusto per evitare equivoci ti dico cosa intendo per funzione aperte (chiusa): sia f una funzione dallo spazio topologico (A,§) a (B,&), f è aperta (chiusa) se per ogni U apert di A f(U) è aperto in B (se per ogni K chiusa in A f(K) è chiuso in B).

[Sk_Anonymous]

Quello che intendevo io e' che (almeno tra spazi metrici) la continuita' di f equivale a f^-1(A) aperto per ogni A aperto, che equivale a sua volta a f^-1(C) chiuso per ogni C chiuso. Ecco da dove viene la mia "aperta equivale a chiusa".

Forse non ho specificato bene il contesto, ma era quello naturale sulle questioni del post.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Platone2]

Ok, grazie per l'aiuto.