Esercizio di Topologia
Ciao ragazzi ! Devo svolgere questo esercizio di topogia.
Si dia un esempio di spazio metrico che contiene due sfere $ S(x,r_1) $ e $ S(y,r_2) $ con x diverso da y e $ r_1>r_2 $ tali che la sfera di raggio minore contenga la sfera di raggio maggiore:
$ S(x,r_1)sub S(y,r_2) $
Nella soluzione del problema mi dice di considerare come spazio metrico la semiretta positiva dell'asse reale con l'ordinaria distanza tra numeri reali d(x,y)= | x-y |
e poi dice
Considerando le due sfere
$ S(0,2)={ x in R^+; d(x,0) <2} = {0<= x <2} $
$ S(1,3/2)={ x in R^+; d(x,1) < 3/2} = {0<= x <5/2} $
che quindi verifica cioò che dobbiamo dimostrare.
Quello che mi chiedo è:
1) Da dove è comparso 5/2 ? C'è una formula o definizione precisa per ricavarlo?
2) non mi è ben chiaro come una sfera di raggio maggiore possa essere contenuta in una di raggio minore. Potreste spiegarmi intuivamente come è possibile?
Vi ringrazio in anticipo per la risposta !
Si dia un esempio di spazio metrico che contiene due sfere $ S(x,r_1) $ e $ S(y,r_2) $ con x diverso da y e $ r_1>r_2 $ tali che la sfera di raggio minore contenga la sfera di raggio maggiore:
$ S(x,r_1)sub S(y,r_2) $
Nella soluzione del problema mi dice di considerare come spazio metrico la semiretta positiva dell'asse reale con l'ordinaria distanza tra numeri reali d(x,y)= | x-y |
e poi dice
Considerando le due sfere
$ S(0,2)={ x in R^+; d(x,0) <2} = {0<= x <2} $
$ S(1,3/2)={ x in R^+; d(x,1) < 3/2} = {0<= x <5/2} $
che quindi verifica cioò che dobbiamo dimostrare.
Quello che mi chiedo è:
1) Da dove è comparso 5/2 ? C'è una formula o definizione precisa per ricavarlo?
2) non mi è ben chiaro come una sfera di raggio maggiore possa essere contenuta in una di raggio minore. Potreste spiegarmi intuivamente come è possibile?
Vi ringrazio in anticipo per la risposta !
Risposte
Mi ricordo un esercizio del genere sul Kolmogorov-Fomin.
Be' il $5/2$ è facile da capire da dove deriva. Prova a farti un disegno. Disegna una semiretta e segna lo $0$ sulla sua origine. Poi segna il punto $1$ e disegna una "palla" centrata in 1 di raggio $1.5$. Che intervallo ottieni sulla semiretta?
C'è poco di intuitivo, ovviamente. E' ovvio che in condizioni "normali" una cosa del genere non può accadere. Questo esercizio, secondo me, è volto a far capire che quando si lavora con topologia/metrica indotta bisogna stare molto, molto attenti perché le cose possono cambiare notevolmente. Qui tutto si gioca sul fatto che hai "buttato via" i negativi, quindi la palle "grosse" vicino allo zero potrebbero diventare incredibilmente "piccole".
Un discorso analogo, personalmente, me lo faccio sempre con gli aperti e chiusi di una topologia indotta. Ad esempio, una roba tipo $[0,2)$ è un aperto nella topologia indotta (da quella euclidea) su $[0,+\infty)$.
Un po' più chiaro ora?
"fede16":
Considerando le due sfere
$ S(0,2)={ x in R^+; d(x,0) <2} = {0<= x <2} $
$ S(1,3/2)={ x in R^+; d(x,1) < 3/2} = {0<= x <5/2} $
che quindi verifica cioò che dobbiamo dimostrare.
Quello che mi chiedo è:
1) Da dove è comparso 5/2 ? C'è una formula o definizione precisa per ricavarlo?
Be' il $5/2$ è facile da capire da dove deriva. Prova a farti un disegno. Disegna una semiretta e segna lo $0$ sulla sua origine. Poi segna il punto $1$ e disegna una "palla" centrata in 1 di raggio $1.5$. Che intervallo ottieni sulla semiretta?
"fede16":
2) non mi è ben chiaro come una sfera di raggio maggiore possa essere contenuta in una di raggio minore. Potreste spiegarmi intuivamente come è possibile?
C'è poco di intuitivo, ovviamente. E' ovvio che in condizioni "normali" una cosa del genere non può accadere. Questo esercizio, secondo me, è volto a far capire che quando si lavora con topologia/metrica indotta bisogna stare molto, molto attenti perché le cose possono cambiare notevolmente. Qui tutto si gioca sul fatto che hai "buttato via" i negativi, quindi la palle "grosse" vicino allo zero potrebbero diventare incredibilmente "piccole".
Un discorso analogo, personalmente, me lo faccio sempre con gli aperti e chiusi di una topologia indotta. Ad esempio, una roba tipo $[0,2)$ è un aperto nella topologia indotta (da quella euclidea) su $[0,+\infty)$.
Un po' più chiaro ora?
Forse un bel disegno può aiutarti:
Come vedi le sfere, che in realtà sono i segmenti sull'asse x, sono una più piccola dell'altra ma, se guardiamo solo la loro componente positiva:
Vedi che la sfera blu è più grande di un pezzettino!
Come vedi le sfere, che in realtà sono i segmenti sull'asse x, sono una più piccola dell'altra ma, se guardiamo solo la loro componente positiva:
Vedi che la sfera blu è più grande di un pezzettino!
Grazie mille a tutti e due per la risposta! Adesso mi è molto più chiaro! grazie ancora ..
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