Esercizio di serie con parametro

[ciaomammalolmao]

Buonasera ho una domanda per una serie con parametro per voi:
$\sum_{n=0}^\infty\(n+x)^(nx)/(n!)$
In questo caso posso risolverla utilizzando il criterio del rapporto? In altre parole, il criterio del rapporto (anche quello della radice) è applicabile anche se la successione è definitivamente a termini positivi o dev’essere sempre positiva? Altrimenti come posso fare? Il limite per la condizione necessaria sono riuscito a farlo e ottengo che la serie può convergere solo per $x<1$ ma poi non saprei come agire. Grazie

[Mephlip]

Sì. Puoi usarlo anche se è solo definitivamente a termini positivi, perché se è positiva da un certo $N$ in poi puoi spezzare la serie tra $0$ ed $N-1$ e da $N$ in poi. La prima è finita, quindi non influenza la convergenza/divergenza; la seconda è ora a termini positivi e per essa puoi usare il criterio del rapporto.

[ciaomammalolmao]

Grazie mille

[ciaomammalolmao]

Ma la stessa cosa vale anche per il criterio del rapporto per le successioni? Se sono definitivamente a termini positivi posso applicarlo per lo stesso motivo?

[Mephlip]

Sì. Stai facendo dei limiti, ti interessa sapere cosa succede da un certo naturale in avanti. Quindi, puoi sempre assumere che $n$ sia maggiore dell'indice necessario per la positività e non perdi generalità nel fare questa supposizione (basta che poi prendi il massimo tra il naturale che ti assicura la positività e il naturale che soddisfa alla definizione di limite).

[ciaomammalolmao]

Ho capito grazie mille