Esercizio di insiemistica da Analisi Matematica di Giovanni Prodi
Salve, con assoluta certezza ho sbagliato zona dove postare questo problema, ma visto che il libro è di Analisi ho pensato di metterlo qui.
Per motivi personali non posso andare all'università quest'anno quindi stavo pensando di studiare un po' da casa. Il libro di Prodi per quanto oscuro alla prima lettura, mi ha già illuminato dalld prime pagine.
Il quesito è un problema di esercizio su cui non sono sicuro della risoluzione con la dimostrazione per assurdo.
\(\displaystyle ((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)) \Leftrightarrow C \subset A \)
Mentre per dimostrare
\(\displaystyle C \subset A \Rightarrow ((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)) \)
Non ho avuto problemi, nella dimostrazione "inversa" ho cercato di dimostrare per assurdo. Quindi ho posto
\(\displaystyle C \cap A = \varnothing \)
Quindi ho affermato che se ciò fosse vero allpra l'ipotesi non potrebbe essere vera a meno che \(\displaystyle C = \varnothing \)
È ciò legittimo?
Per motivi personali non posso andare all'università quest'anno quindi stavo pensando di studiare un po' da casa. Il libro di Prodi per quanto oscuro alla prima lettura, mi ha già illuminato dalld prime pagine.
Il quesito è un problema di esercizio su cui non sono sicuro della risoluzione con la dimostrazione per assurdo.
\(\displaystyle ((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)) \Leftrightarrow C \subset A \)
Mentre per dimostrare
\(\displaystyle C \subset A \Rightarrow ((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)) \)
Non ho avuto problemi, nella dimostrazione "inversa" ho cercato di dimostrare per assurdo. Quindi ho posto
\(\displaystyle C \cap A = \varnothing \)
Quindi ho affermato che se ciò fosse vero allpra l'ipotesi non potrebbe essere vera a meno che \(\displaystyle C = \varnothing \)
È ciò legittimo?
Risposte
Non proprio: l'enunciato è valido per $CsubA rarr AnnC=A$ quindi non funziona anche solo per $AnnC=D≠A$, cioè se $C$ ed $A$ non hanno tutti gli elementi in comune. Quindi supporre che i due insiemi siano completamente disgiunti è una condizione troppo stringente.
In realtà è una proposizione banale: il primo membro ti dà gli elementi che $A$ ha in comune con $B$ più tutto $C$, mentre il secondo gli elementi che $A$ ha in comune con $B$ e $C$. E' evidente che se $C$ non è completamente incluso in $A$ l'equazione non regge, perché posso trovare un elemento $cinC$ ma $notinA$ che appartiene al membro di sinistra ma non a quello di destra.
Basta condire quello che ho scritto con un po' di formalismo e in mezza riga è dimostrata
In realtà è una proposizione banale: il primo membro ti dà gli elementi che $A$ ha in comune con $B$ più tutto $C$, mentre il secondo gli elementi che $A$ ha in comune con $B$ e $C$. E' evidente che se $C$ non è completamente incluso in $A$ l'equazione non regge, perché posso trovare un elemento $cinC$ ma $notinA$ che appartiene al membro di sinistra ma non a quello di destra.
Basta condire quello che ho scritto con un po' di formalismo e in mezza riga è dimostrata
Grazie mille 
L'unica cosa che non capisco è perché \(\ C \cap A = A \), non dovrebbe essere \(\ C \cap A = C \) in cui potrebbe essere anche che \(\ C = A \)?
L'unica cosa che non capisco è perché \(\ C \cap A = A \), non dovrebbe essere \(\ C \cap A = C \) in cui potrebbe essere anche che \(\ C = A \)?
Perché ho sbagliato, è ovviamente come dici.
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