Esercizio di Galileo (dimostrazione per induzione).

[_beppe_11]

Ciao a tutti,
sono uno studente del primo anno d'Ingegneria (per l'Ambiente ed il Territorio) incappato casualmente in un esercizio letto sul testo di Analisi Matematica 1. Si chiede di dimostrare per induzione la seguente regolarità matematica:
$ 1/3 = (1+3)/(5+7) = (1+3+5)/(7+9+11) = ... $
scoperta, a quanto dice lo stesso manuale, da Galileo Galilei. Dato che non son capace di risolverlo, chiedo aiuto a chiunque ne sia in grado.

Grazie e di nuovo saluti,
Beppe.

[Studente Anonimo]

Potresti procedere così: definisci

$a_n:=\sum_{i=0}^{n-1}(2i+1)$

Viene allora che quello che devi dimostrare è che

$a_n/(a_{2n}-a_n)=1/3$ per ogni $n \ge 1$

(è facile convincersene). Ora, tale relazione diventa (nel senso che "è equivalente a") dopo un passaggio la seguente:

$a_{2n}=4a_n$

Quindi questo è quello che devi dimostrare. Il caso n=1 è facile. Ora volendo verificare la validità di tale formula per n, supponiamola valida per n-1. Allora

(1) $a_{2(n-1)}=4a_{n-1}$

Ora, per definizione vale, per ogni k,

$a_k=a_{k-1}+2k-1 = a_{k-2}+2(k-1)-1+2k-1=a_{k-2}+4k-4$

Quindi dalla (1) segue che (sostituendo k con 2n e poi con n)

$a_{2n}-8n+4 = a_{2n-2} = 4a_{n-1} = 4(a_n-2n+1)$

Ovvero

$a_{2n}-8n+4 = 4a_n-8n+4$

Ovvero

$a_{2n}=4a_n$

Cioè quello che volevamo dimostrare.

Ciao ciao.

PS: per la cronaca, $a_n=n^2$ mi premeva dirlo.

[_beppe_11]

Grazie Martino,
mi hai privato d'un problema che non avrei mai potuto risolvere da solo ma che tuttavia mi coinvolge tuttora .

[Bruno13]

La soluzione di Martino è impeccabile ed elegante.

Visto che il problema ti piace, ti propongo questa
variante.

Sempre utilizzando le sommatorie, dobbiamo
provare che per ogni $n \in \N$ sia:

(1) $3 cdot \sum_{i=0}^{n-1}2i+1 = \sum_{i=n}^{2n-1}2i+1$

Per $n=1$, lo abbiamo visto, la relazione è
verificata.

Supposta vera per $n=k$, quindi, possiamo
scrivere:

$3 cdot (2k+1)+3 cdot \sum_{i=0}^{k-1}2i+1 = 3 cdot (2k+1)+\sum_{i=k}^{2k-1}2i+1$

in cui aggiorniamo subito il membro sinistro:

$3 cdot \sum_{i=0}^{k}2i+1 = 3 cdot (2k+1)+\sum_{i=k}^{2k-1}2i+1$

e poi quello destro, dapprima aumentando di
un'unità gli indici (ossia aggiungendo un $2$
a tutti i numeri dispari indicati nella sommatoria):

$3 cdot \sum_{i=0}^{k}2i+1 = 4k+3 +2k+\sum_{i=k}^{2k-1}2i+1$
$3 cdot \sum_{i=0}^{k}2i+1 = 4k+3 +\sum_{i=k+1}^{2k}2i+1$

e poi inglobando $4k+3=2(2k+1)+1$:

$3 cdot \sum_{i=0}^{k}2i+1 = \sum_{i=k+1}^{2k+1}2i+1$.

L'ultima relazione non è altro che la (1) scritta
per $n=k+1$.

[Studente Anonimo]

Chi si vede!
Ciao Bruno.

Molto bella anche la tua soluzione

[Bruno13]