Esercizio di Fusco sui limiti

[francotaffo]

Salve ragazzi,
sono uno studente di matematica alla Federico II di Napoli. Vorrei proporvi un di limite preso dagli esercizi di Nicola Fusco, professore di Analisi 2, che mi sta attanagliando da ieri sera e che non riesco a risolvere. Ad occhio ricorda molto il limite notevole $ lim x to 0 ((1+x)^a-1)/x $ ma nonostante innumerevoli tentativi ancora non riesco a risolverlo. Suggerimenti? Il limite è il seguente:

$ lim x to 0 1/x(((1-√(1-x))/(√(1+x)-1))^(1/3)-1) $

[anto_zoolander]

We

intanto noto che in un intorno di zero $(1-sqrt(1-x))/(sqrt(x+1)-1)$ è strettamente positivo. Dunque prendo e riscrivo il limite così:

$lim_(x->0)1/x(e^(1/3ln((1-sqrt(1-x))/(sqrt(x+1)-1)))-1)$

ma per $x->0$ abbiamo che $e^(1/3ln((1-sqrt(1-x))/(sqrt(x+1)-1)))-1$\(\displaystyle \sim \)$1/3ln((1-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)-1))$

e continuo a cambiare il limite.. $lim_(x->0)1/(3x)ln((1-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)-1))$

ora faccio la bravata di aggiungere e togliere $1$ nell'argomento del $ln$

$ln(1+((1-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)-1)-1))$\(\displaystyle \sim \)$(1-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)-1)-1=(2-sqrt(1-x)-sqrt(1+x))/(sqrt(1+x)-1)$

ora quel denominatore è asintotico a $1/2x$ e sostituendo tutto nel limite otteniamo:

$lim_(x->0)(2-sqrt(1-x)-sqrt(1+x))/(3/2x^2)=[0/0]$

io quì a occhio direi di utilizzare DH per liberarci di quel $2$ fastidioso a numeratore.

$lim_(x->0)-((-1)/(2sqrt(1-x))+1/(2sqrt(1+x)))*1/(3x)=lim_(x->0)-(sqrt(1-x)-sqrt(1+x))/(6xsqrt(1-x^2))$

razionalizzo $lim_(x->0)-(-2x)/(6xsqrt(1-x^2)[sqrt(1-x)+sqrt(1+x)])=1/6$

[anto_zoolander]

Volendo si poteva anche agire direttamente così

$lim_(x->0)1/x(((1-sqrt(x-1))/(sqrt(x+1)-1))^(1/3)-1)$

aggiungo e tolgo $1$ da dentro la dentro la parentesi più interna

$lim_(x->0)1/x((1+((1-sqrt(x-1))/(sqrt(x+1)-1)-1))^(1/3)-1)$

ora $(1+((1-sqrt(x-1))/(sqrt(x+1)-1)-1))^(1/3)-1$\(\displaystyle \sim \)$1/3((1-sqrt(x-1))/(sqrt(x+1)-1)-1)$

sostituendo nel limite ottengo

$lim_(x->0)1/(3x)[(1-sqrt(x-1))/(sqrt(x+1)-1)]$

e si conclude come prima, evitando qualche passaggio

naturalmente in entrambi i messaggi sottintendo che

$lim_(x->0)[(1-sqrt(x-1))/(sqrt(x+1)-1)]=1$

[francotaffo]

Tutto avevo pensato tranne a sommare e a sottrarre per 1. Forse mi ero focalizzato troppo sui limiti notevoli. Grazie dell'aiuto.
Negli esami di Alvino raramente ho visto limiti così complicati quindi non credo siano un problema, ma vedendo questo limite di Fusco (apparentemente impossibile per me xD) mi sono spaventato un po'.

[francicko]

Ma se razionalizzo ottengo $lim_(x->0)(1/x)(root(3)(((1+x)^(1/2)-(1-x^2)^(1/2)-(1-x)^(1/2)+1)/x)-1)$
$=lim(1/x)(root (3)((1+x/2-1+x^2/2-1+x/2+1)/x)-1)$
$=lim(1/x)(root(3)(((x+x^2/2)/x))-1)$ $=lim(1/x)(root(3)((1+x/2))-1))$ $=lim (1/x)((1+x/6)-1)$ $=1/6$, ed ho solo usato gli asintotici☺
Ed $1/6$ e' il risultato corretto!