Esercizio di fisica con equazione differenziale
Sera:)
Avrei bisogno di un gentile aiuto matematico..
C'è un esercizio che mi sta tormentando poiché non sono fiero della risoluzione che ho svolto, ed è il seguente:
Consideriamo un modello classico dell’atomo di idrogeno, in cui l’elettrone (carica e= 1.602·10−19C, massa m= 9.109·10−31kg) compie un’orbita circolare di raggio r0= 0.53·10−10m attorno alprotone (di massa molto maggiore). A causa dell’accelerazione a cui è sottoposto, l’elettrone emetteonde e.m., la sua energia perciò diminuisce ed il raggio dell’orbita cambia.
(a) Calcolare velocità e accelerazione dell’elettrone, la sua energia totale e la potenza emessa perirraggiamento in funzione della distanzardal protone (trascurare la componente radiale della velocità).
(b) Ricavare un’equazione differenziale che determini la variazione dirnel tempo.
(c) Risolvere l’equazione diferenziale trovata, con la condizione iniziale r(0) =r0.
(d) Calcolare in quanto tempo il raggio dell’orbita dell’elettrone si annulla.
(e) Quale conseguenza possiamo ricavare da questo risultato?
SOL:
Il dubbioè sul punto b.
L'idea è che l'energia persa irradiata sia pari a $(d(U(r)))/(dt)$ con $U(r)=-k/(2r)$
In sostanza $-(d(1/r))/(dt)=(4k^2)/(3m^2r^4c^3)$
Non so bene come portarmi a variabili separabili, perché intuitivamente dovrei ottenere quella eq.
Tuttavia non capisco bene cosa intenda nelle soluzioni con $(dr)/(dU)(dU)/(dt)$
Provando con uno sporco trucco cioè differenziando $d(1/r)=-1/r^2dr$ in effetti giungo a
$(dr)/(dt)=-(4k^2)/(3m^2c^3r^2)$ ma come posso rendere sensata questa insensatezza?
Ringrazio
Avrei bisogno di un gentile aiuto matematico..
C'è un esercizio che mi sta tormentando poiché non sono fiero della risoluzione che ho svolto, ed è il seguente:
Consideriamo un modello classico dell’atomo di idrogeno, in cui l’elettrone (carica e= 1.602·10−19C, massa m= 9.109·10−31kg) compie un’orbita circolare di raggio r0= 0.53·10−10m attorno alprotone (di massa molto maggiore). A causa dell’accelerazione a cui è sottoposto, l’elettrone emetteonde e.m., la sua energia perciò diminuisce ed il raggio dell’orbita cambia.
(a) Calcolare velocità e accelerazione dell’elettrone, la sua energia totale e la potenza emessa perirraggiamento in funzione della distanzardal protone (trascurare la componente radiale della velocità).
(b) Ricavare un’equazione differenziale che determini la variazione dirnel tempo.
(c) Risolvere l’equazione diferenziale trovata, con la condizione iniziale r(0) =r0.
(d) Calcolare in quanto tempo il raggio dell’orbita dell’elettrone si annulla.
(e) Quale conseguenza possiamo ricavare da questo risultato?
SOL:
Il dubbioè sul punto b.
L'idea è che l'energia persa irradiata sia pari a $(d(U(r)))/(dt)$ con $U(r)=-k/(2r)$
In sostanza $-(d(1/r))/(dt)=(4k^2)/(3m^2r^4c^3)$
Non so bene come portarmi a variabili separabili, perché intuitivamente dovrei ottenere quella eq.
Tuttavia non capisco bene cosa intenda nelle soluzioni con $(dr)/(dU)(dU)/(dt)$
Provando con uno sporco trucco cioè differenziando $d(1/r)=-1/r^2dr$ in effetti giungo a
$(dr)/(dt)=-(4k^2)/(3m^2c^3r^2)$ ma come posso rendere sensata questa insensatezza?
Ringrazio
Risposte
Ciao jambon,
Attenzione perché hai scritto/letto male, in realtà c'è scritto
$ ("d"r)/("d"t) = ("d"r)/("d"U)("d"U)/("d"t) $
Ora se $U = - k/(2r) \implies r = - k/(2U) \implies ("d"r)/("d"U) = k/(2U^2) = 1/(k/(2r^2)) = (2r^2)/k $
Dunque $ ("d"U)/("d"t) = - P(r) = - (2 k^3)/(3c^3 m^2 r^4) $ e si ha:
$ ("d"r)/("d"t) = ("d"r)/("d"U)("d"U)/("d"t) = (2r^2)/k \cdot [- (2 k^3)/(3c^3 m^2 r^4)] = - (4 k^2)/(3c^3 m^2 r^2) $
Integrando quest'ultima equazione differenziale si ha:
$ (r^3(t))/3 = - (4 k^2)/(3c^3 m^2)t + c' $
$ r^3(t) = c - (4 k^2)/(c^3 m^2)t $
$ r(t) = root[3]{c - (4 k^2)/(c^3 m^2)t} $
Ora, dato che $ r_0 = r(0) = root[3]{c} \implies c = r_0^3$, in definitiva si ha:
$ r(t) = root[3]{r_0^3 - (4 k^2)/(c^3 m^2)t} $
"jambon":
Tuttavia non capisco bene cosa intenda nelle soluzioni con $(dr)/(dU)(dU)/(dr) $
Attenzione perché hai scritto/letto male, in realtà c'è scritto
$ ("d"r)/("d"t) = ("d"r)/("d"U)("d"U)/("d"t) $
Ora se $U = - k/(2r) \implies r = - k/(2U) \implies ("d"r)/("d"U) = k/(2U^2) = 1/(k/(2r^2)) = (2r^2)/k $
"jambon":
L'idea è che l'energia persa irradiata sia pari a $ (d(U(r)))/(dt) $
Dunque $ ("d"U)/("d"t) = - P(r) = - (2 k^3)/(3c^3 m^2 r^4) $ e si ha:
$ ("d"r)/("d"t) = ("d"r)/("d"U)("d"U)/("d"t) = (2r^2)/k \cdot [- (2 k^3)/(3c^3 m^2 r^4)] = - (4 k^2)/(3c^3 m^2 r^2) $
Integrando quest'ultima equazione differenziale si ha:
$ (r^3(t))/3 = - (4 k^2)/(3c^3 m^2)t + c' $
$ r^3(t) = c - (4 k^2)/(c^3 m^2)t $
$ r(t) = root[3]{c - (4 k^2)/(c^3 m^2)t} $
Ora, dato che $ r_0 = r(0) = root[3]{c} \implies c = r_0^3$, in definitiva si ha:
$ r(t) = root[3]{r_0^3 - (4 k^2)/(c^3 m^2)t} $
Ciao Pilloeffe,
ti ringrazio per la dettagliata risposta e ho capito ora cosa intendeva la soluzione. Ovviamente hai anche individuato l'errore di battitura che correggo.
Vorrei chiederti un'ultima cosa, secondo te partendo dalla mia via, cioè trovandomi in $-(d(1/r))/(dt)=(4k^2)/(3m^2r^4c^3)$ potrei in qualche modo ricondurmi a quella da te trovata (ossia ricondurmi a una riespressione con dr/dt)? Perché non mi viene in mente come
ti ringrazio per la dettagliata risposta e ho capito ora cosa intendeva la soluzione. Ovviamente hai anche individuato l'errore di battitura che correggo.
Vorrei chiederti un'ultima cosa, secondo te partendo dalla mia via, cioè trovandomi in $-(d(1/r))/(dt)=(4k^2)/(3m^2r^4c^3)$ potrei in qualche modo ricondurmi a quella da te trovata (ossia ricondurmi a una riespressione con dr/dt)? Perché non mi viene in mente come
"jambon":
ti ringrazio per la dettagliata risposta e ho capito ora cosa intendeva la soluzione.
Prego!
"jambon":
cioè trovandomi in $-(d(1/r))/(dt)=(4k^2)/(3m^2r^4c^3) $ potrei in qualche modo ricondurmi a quella da te trovata (ossia ricondurmi a una riespressione con dr/dt)?
A parte un errore di segno, non vedo difficoltà se pensi che $r = r(t) $ è una funzione di $t$, per cui si può derivare rispetto a $r$ e poi derivare $r$ rispetto a $t$:
$ - ("d"(1/r))/("d"t) = - (4k^2)/(3 c^3 m^2 r^4) $
$ ("d"(- 1/r))/("d"t) = - (4k^2)/(3 c^3 m^2 r^4) $
$ 1/r^2 ("d"r)/("d"t) = - (4k^2)/(3 c^3 m^2 r^4) $
$ ("d"r)/("d"t) = - (4k^2)/(3 c^3 m^2 r^2) $
Quest'ultima è proprio l'equazione differenziale che ti ho scritto nel mio post precedente.
Stavo per salire ed eliminare il precedente essendomi reso conto della cosa, ma vedo che sei stato rapidissimo e hai già risposto !
E' tutto chiaro, grazie mille per il tuo grande aiuto.
Buona domenica!!
!E' tutto chiaro, grazie mille per il tuo grande aiuto.
Buona domenica!!
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