Esercizio di dimostrazione
Buongiorno!
Mi potreste aiutare con questo esercizio teorico sulle funzioni?
Grazie mille!
TESTO:
Dimostrare o confutare (tramite un controesempio) che se $f : RR → RR$ è una funzione derivabile in tutto $RR$ e
tale che $f'(X)=0$ per ogni $X in RR - {0}$, allora $f$ è costante in $RR$.
Io pensavo semplicemente di dire che, se $f$ è per ipotesi derivabile in tutto $RR$, allora deve valere che:
$lim_(X->0^-)(f'(X))=f'(0)=lim_(X->0^+)(f'(X))$.
Dunque posso dedurre che anche $f'(0)=0$.
Ora, dato che $f'(X)=0$ per ogni $X in RR$ se e solo se $f(X)$ è costante in $RR$ la tesi è verificata.
Va bene come dimostrazione?
Ne esiste un'altra più "bella" da un punto di vista teorico (oppure un altro modo di formulare questa)?
Grazie e mille e buona giornata!
Mi potreste aiutare con questo esercizio teorico sulle funzioni?
Grazie mille!
TESTO:
Dimostrare o confutare (tramite un controesempio) che se $f : RR → RR$ è una funzione derivabile in tutto $RR$ e
tale che $f'(X)=0$ per ogni $X in RR - {0}$, allora $f$ è costante in $RR$.
Io pensavo semplicemente di dire che, se $f$ è per ipotesi derivabile in tutto $RR$, allora deve valere che:
$lim_(X->0^-)(f'(X))=f'(0)=lim_(X->0^+)(f'(X))$.
Dunque posso dedurre che anche $f'(0)=0$.
Ora, dato che $f'(X)=0$ per ogni $X in RR$ se e solo se $f(X)$ è costante in $RR$ la tesi è verificata.
Va bene come dimostrazione?
Ne esiste un'altra più "bella" da un punto di vista teorico (oppure un altro modo di formulare questa)?
Grazie e mille e buona giornata!
Risposte
"alex210":
[...] allora deve valere che:
$lim_(X->0^-)(f'(X))=f'(0)=lim_(X->0^+)(f'(X))$.
Attento: nelle ipotesi non hai la continuità della derivata...
Ciao Gugo 82, hai ragione, che è continua per ipotesi è $f$.
Quindi la dimostrazione corretta (correggimi se sbaglio) è di dire che $f$ è sicuramente costante in tutti i punti diversi da zero perchè la derivata è per ipotesi nulla; dunque, visto che $f$ è continua (perchè è derivabile per ipotesi), deve essere costante anche in zero.
Giusto?
Grazie mille!
Quindi la dimostrazione corretta (correggimi se sbaglio) è di dire che $f$ è sicuramente costante in tutti i punti diversi da zero perchè la derivata è per ipotesi nulla; dunque, visto che $f$ è continua (perchè è derivabile per ipotesi), deve essere costante anche in zero.
Giusto?
Grazie mille!
Eh... Ni.
Che vuol dire che è costante?
Dove, in quali insiemi?
Che poi, in soldoni, la questione è: in quale tipo di insiemi vale il teorema sulle funzioni a derivata nulla?
Che vuol dire che è costante?
Dove, in quali insiemi?
Che poi, in soldoni, la questione è: in quale tipo di insiemi vale il teorema sulle funzioni a derivata nulla?
Penso che una possibile definizione di funzione costante (da $RR$ in $RR$) sia che esiste $kinRR$ tale che $f(X)=k$ per ogni $X in RR$.
Capisco la tua osservazione sulla necessità di definire in modo chiaro gli insiemi considerati, ma (visto che hai ritenuto necessario darmi questa precisazione probabilmente mi sbaglio) in questo caso gli insiemi considerati non sono già specificati dal testo del problema?
Il testo specifica che la funzione va da $RR$ in $RR$, per cui in questo caso posso assumere valido il teorema sulle funzioni a derivata nulla, poi capisco che in generale vada considerato il fatto che tali considerazioni non valgono in tutti gli insiemi ma in questo caso la validità non è già garantita dal testo stesso?
Grazie ancora per la disponibilità e buona giornata!
Capisco la tua osservazione sulla necessità di definire in modo chiaro gli insiemi considerati, ma (visto che hai ritenuto necessario darmi questa precisazione probabilmente mi sbaglio) in questo caso gli insiemi considerati non sono già specificati dal testo del problema?
Il testo specifica che la funzione va da $RR$ in $RR$, per cui in questo caso posso assumere valido il teorema sulle funzioni a derivata nulla, poi capisco che in generale vada considerato il fatto che tali considerazioni non valgono in tutti gli insiemi ma in questo caso la validità non è già garantita dal testo stesso?
Grazie ancora per la disponibilità e buona giornata!
Rifaccio la domanda: se $f$ è derivabile in $RR - \{ 0\}$ ed $f^\prime (x) = 0$ ovunque, puoi concludere che $f$ è costante in $RR- \{ 0\}$? E perché?
Se la derivata è nulla in $RR-{0}$ vuol dire che la funzione $f'$ è prolungabile per continuità in $X_0=0$, quindi posso affermare che $f$ è derivabile (e dunque continua) su tutto $RR$. Il fatto che $f'(X)=0=>f(X)=K$ lo posso dimostrare calcolando esplicitamente il rapporto incrementale.
Dunque la funzione deve essere costante in $RR$ perchè se per assurdo in $X_0=0$ la funzione assumesse un valore $p!=k$ violerebbe l'ipotesi di continuità perchè il valore al quale $X$ tenderebbe nell'intorno destro e sinistro di $0$ non sarebbe più concorde con il valore assunto nel punto.
Quindi si, però il testo afferma che la funzione è derivabile su tutto $RR$ per cui non mi serve neanche prolungarla (aggiungendo un punto che in teoria non fa parte del dominio), so già che deve valere l'ipotesi di continuità e che la derivata di una funzione costante sia nulla è un teorema già dimostrato in $RR$.
Scusami per la lentezza di pensiero ma non capisco proprio dove vuoi andare a parare...
Dunque la funzione deve essere costante in $RR$ perchè se per assurdo in $X_0=0$ la funzione assumesse un valore $p!=k$ violerebbe l'ipotesi di continuità perchè il valore al quale $X$ tenderebbe nell'intorno destro e sinistro di $0$ non sarebbe più concorde con il valore assunto nel punto.
Quindi si, però il testo afferma che la funzione è derivabile su tutto $RR$ per cui non mi serve neanche prolungarla (aggiungendo un punto che in teoria non fa parte del dominio), so già che deve valere l'ipotesi di continuità e che la derivata di una funzione costante sia nulla è un teorema già dimostrato in $RR$.
Scusami per la lentezza di pensiero ma non capisco proprio dove vuoi andare a parare...
Dove voglio andare a parare...
Intanto, questo è falso o (per lo meno) scritto male.
Non esiste nessun teorema che ti assicuri che una funzione derivabile in $RR -\{0\}$ con $f^\prime (x)=0$ sia costante in $RR -\{0\}$, perché innanzitutto c'è un semplice controesempio:
$f(x) := \{ (0, ", se " x<0), (1, ", se " x>0):}$
e perché, in senso più profondo, il teorema di Lagrange si applica solo sugli intervalli ed $RR -\{0\}$ non è un intervallo.
Ciò che puoi dire è che $f$ è costante su ogni sottointervallo massimale di $RR -\{0\}$ in cui essa ha derivata nulla, cioè è costante su $RR^-$ e costante su $RR^+$, ossia che risulta:
$f(x)= alpha$ per $x<0$ ed $f(x)= beta$ per $x>0$.
Ora per concludere puoi usare la continuità di $f$ in $0$, che è assicurata dalla sua derivabilità ovunque.
Infatti, la $f$ è continua in $0$ se e solo se $alpha = f(0) = beta$ e da ciò ricavi che $f(x) = f(0)$ ovunque in $RR$.
Intanto, questo è falso o (per lo meno) scritto male.
"alex210":
Quindi la dimostrazione corretta (correggimi se sbaglio) è di dire che $f$ è sicuramente costante in tutti i punti diversi da zero perchè la derivata è per ipotesi nulla [...]
Non esiste nessun teorema che ti assicuri che una funzione derivabile in $RR -\{0\}$ con $f^\prime (x)=0$ sia costante in $RR -\{0\}$, perché innanzitutto c'è un semplice controesempio:
$f(x) := \{ (0, ", se " x<0), (1, ", se " x>0):}$
e perché, in senso più profondo, il teorema di Lagrange si applica solo sugli intervalli ed $RR -\{0\}$ non è un intervallo.
Ciò che puoi dire è che $f$ è costante su ogni sottointervallo massimale di $RR -\{0\}$ in cui essa ha derivata nulla, cioè è costante su $RR^-$ e costante su $RR^+$, ossia che risulta:
$f(x)= alpha$ per $x<0$ ed $f(x)= beta$ per $x>0$.
Ora per concludere puoi usare la continuità di $f$ in $0$, che è assicurata dalla sua derivabilità ovunque.
Infatti, la $f$ è continua in $0$ se e solo se $alpha = f(0) = beta$ e da ciò ricavi che $f(x) = f(0)$ ovunque in $RR$.
Grazie gugo82, effettivamente la dimostrazione che ho scritto nel post che hai citato era superficiale avendo io dato per scontata la continuità.
Comunque del controesempio da te scritto ero già consapevole, (del resto basta pensare all'integrale indefinito di una funzione che restituisce la famiglia delle primitive che sono uguali a meno di una costante additiva) io intendevo scrivere nel post che il fatto che la derivata fosse costantemente nulla assicurava che la funzione $f$ fosse del tipo $f(x)=k$, che poi $k$ fosse uguale per ogni $X$ si deduceva dalla continuità (questo, se fossi stato in un esame, l'avrei specificato).
Ora capisco perché insistevi su quel punto, scusami se ho trascinato questa conversazione per un po'.
Grazie ancora e buona serata!
Comunque del controesempio da te scritto ero già consapevole, (del resto basta pensare all'integrale indefinito di una funzione che restituisce la famiglia delle primitive che sono uguali a meno di una costante additiva) io intendevo scrivere nel post che il fatto che la derivata fosse costantemente nulla assicurava che la funzione $f$ fosse del tipo $f(x)=k$, che poi $k$ fosse uguale per ogni $X$ si deduceva dalla continuità (questo, se fossi stato in un esame, l'avrei specificato).
Ora capisco perché insistevi su quel punto, scusami se ho trascinato questa conversazione per un po'.
Grazie ancora e buona serata!
"alex210":
Comunque del controesempio da te scritto ero già consapevole, (del resto basta pensare all'integrale indefinito di una funzione che restituisce la famiglia delle primitive che sono uguali a meno di una costante additiva) io intendevo scrivere nel post che il fatto che la derivata fosse costantemente nulla assicurava che la funzione $f$ fosse del tipo $f(x)=k$ [...]
Ma questo è falso, come mostra il controesempio di cui eri "già consapevole".
Per cercare di venire un attimo incontro all'OP, consiglierei proprio di disegnare il (banalissimo) grafico della funzione proposta come "controesempio" (ce ne sono almeno $2^{\aleph_0}$ della stessa tipologia, eh) da gugo82.
Ora, essendoci ancora dei palesi problemi a cogliere il nocciolo del ragionamento, tornerei indietro sul concetto di dominio su cui è definita la funzione che consideri: se dividi il dominio in dei sottointervalli e imponi che la funzione sia costante (o alternativamente che la sua derivata prima sia nulla) su ciascuno di essi, non ottieni per forza una funzione costante su due (o più) sottointervalli adiacenti... potrebbe essere così o meno. Poi, certo, avrai sempre una funzione integrabile (secondo Riemann) su tutto il dominio, ma l'integrabilità è una condizione più debole della continuità che è a sua volta più debole della proprietà di $f$ di essere di classe $C^1$ (infatti notiamo che $1>0$
).
Ora, essendoci ancora dei palesi problemi a cogliere il nocciolo del ragionamento, tornerei indietro sul concetto di dominio su cui è definita la funzione che consideri: se dividi il dominio in dei sottointervalli e imponi che la funzione sia costante (o alternativamente che la sua derivata prima sia nulla) su ciascuno di essi, non ottieni per forza una funzione costante su due (o più) sottointervalli adiacenti... potrebbe essere così o meno. Poi, certo, avrai sempre una funzione integrabile (secondo Riemann) su tutto il dominio, ma l'integrabilità è una condizione più debole della continuità che è a sua volta più debole della proprietà di $f$ di essere di classe $C^1$ (infatti notiamo che $1>0$
).
Vorrei far notare che con le ipotesi date si mostra facilmente che $f'$ è continua in $0$. Infatti per de l'Höpital e per come è fatta $f'$ possiamo semplicemente notare che
\[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}f'(x)=0\]
e concludere immediatamente come diceva alex210.
Di più, possiamo addirittura togliere l'ipotesi di derivabilità in $0$ e arrivare alle stesse conclusioni. Solo togliendo la continuità in $0$ si cade nel controesempio portato.
\[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}f'(x)=0\]
e concludere immediatamente come diceva alex210.
Di più, possiamo addirittura togliere l'ipotesi di derivabilità in $0$ e arrivare alle stesse conclusioni. Solo togliendo la continuità in $0$ si cade nel controesempio portato.
"kry_98":
Vorrei far notare che con le ipotesi date si mostra facilmente che $f'$ è continua in $0$. Infatti per de l'Höpital e per come è fatta $f'$ possiamo semplicemente notare che
\[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}f'(x)=0\]
Non capisco perché puoi concludere che $\lim_(x \to 0) f'(x) = 0$, in quanto per ipotesi sai solo che $f'(x) = 0$ per $x \ne 0$... come ci si arriva?
"Lebesgue":
[quote="kry_98"]Vorrei far notare che con le ipotesi date si mostra facilmente che $f'$ è continua in $0$. Infatti per de l'Höpital e per come è fatta $f'$ possiamo semplicemente notare che
\[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}f'(x)=0\]
Non capisco perché puoi concludere che $\lim_(x \to 0) f'(x) = 0$, in quanto per ipotesi sai solo che $f'(x) = 0$ per $x \ne 0$... come ci si arriva?[/quote]
Quella è però banalmente la definizione di limite.
@kry_98 Però non è più laborioso usare de l'hospital? Alla fine lo snodo come fai notare è proprio la continuità di f in 0, che raccorda i due intervalli di costanza a dx e sx. Quindi tantovale dedurla subito dalla derivabilità di f in 0, che abbiamo per ipotesi, come fa gugo82 nella prima risposta.
"alex210":
Se la derivata è nulla in $RR-{0}$ vuol dire che la funzione $f'$ è prolungabile per continuità in $X_0=0$, quindi posso affermare che $f$ è derivabile (e dunque continua) su tutto $RR$.
Ma il prolungamento che hai fatto potrebbe in teoria non coincidere con l'effettiva \(\displaystyle f' \).
"alex210":
Il fatto che f'(X)=0⇒f(X)=K lo posso dimostrare calcolando esplicitamente il rapporto incrementale.
Intendi forse che \(\displaystyle f'(0) \) la puoi calcolare esplicitamente tramite il rapporto incrementale in 0? (E viene \(\displaystyle f'(0)=0 \)). Come? Con de l'Hospital come suggerisce kry_98?
L'implicazione che scrivi te invece, cioè "\(\displaystyle f'(X)=0⇒f(X)=K \)", è un banale corollario del Teo di Lagrange, quindi vale su un intervallo. A volte richiamato come Teo della derivata nulla.
Sii più esigente nel rigore dei passaggi.
Del resto con certi maestri... infatti come sempre Marco Ripà dopo aver messo simboli ebraici a sproposito, dà alla discussione il suo tipico contributo entropico à la Ripà, buono solo a confondere i ragazzi (e se stesso):
"marcokrt":
Poi, certo, avrai sempre una funzione integrabile su tutto il dominio, ma l'integrabilità è una condizione più debole della continuità che è a sua volta più debole della proprietà di f di essere di classe C1 (infatti notiamo che 1>0
Dal momento che l'errore del ragazzo OP è proprio aver assunto indebitamente la continuità della derivata, trovo all'uopo che Ripà ingeneri ulteriore confusione con questa singolare gerarchia in cui si salta dalla continuità alla dervabilità con derivata continua.
Siamo alle solite Ripà. Sul banco dei cattivi.
"FLovini":
@kry_98 Però non è più laborioso usare de l'hospital? Alla fine lo snodo come fai notare è proprio la continuità di f in 0, che raccorda i due intervalli di costanza a dx e sx. Quindi tantovale dedurla subito dalla derivabilità di f in 0, che abbiamo per ipotesi, come fa gugo82 nella prima risposta.
Si è solo una questione di ipotesi “minime”. Comunque mi sono ricollegato all’idea originale di alex210 che però dava per scontato la continuità di $f'$ senza averla dimostrata.
"Lebesgue":
Non capisco perché puoi concludere che limx→0f'(x)=0, in quanto per ipotesi sai solo che f'(x)=0 per x≠0... come ci si arriva?
Dato $\epsilon>0$ converrai che $\forall\delta>0$ si ha che $\forall x\ne 0 : |x-0|<\delta \Rightarrow 0=|f'(x)-0|<\epsilon$.
Più esplicitamente:
\[\lim\limits_{x\rightarrow 0}f'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}0=0.\]
"kry_98":
Vorrei far notare che con le ipotesi date si mostra facilmente che $f'$ è continua in $0$. Infatti per de l'Höpital e per come è fatta $f'$ possiamo semplicemente notare che
\[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}f'(x)=0\]
e concludere immediatamente come diceva alex210.
Questa è una conseguenza di un noto teorema sulla derivabilità in un punto, che segue dal teorema di Lagrange. Ne ricordo un enunciato:
Siano $I sube RR$ un intervallo non banale[nota]Cioè non vuoto e non ridotto ad un solo punto, i.e. contenente almeno due punti distinti.[/nota], $f:I -> RR$ ed $x_0$ interno ad $I$.
Se:
[*:1hyoy8oz] $f$ è continua in $x_0$,
[/*:m:1hyoy8oz]
[*:1hyoy8oz] $f$ è derivabile in $I - \{ x_0\}$,
[/*:m:1hyoy8oz]
[*:1hyoy8oz] esiste finito $lim_(x -> x_0) f^\prime (x)$,[/*:m:1hyoy8oz][/list:u:1hyoy8oz]
allora $f$ è derivabile in $x_0$ ed il valore $f^\prime (x_0)$ coincide col valore del limite della derivata per $x -> x_0$, i.e. risulta:
\[
f^\prime (x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x\to x_0} f^\prime (x)\; .
\]
Però una soluzione basata su questo fatto, per quanto notevole, la trovo didatticamente poco interessante e -probabilmente- anche lontana dalle intenzioni di chi ha scritto il testo dell'esercizio.
@marcokrt:
"marcokrt":
[...] certo, avrai sempre una funzione integrabile (secondo Riemann) su tutto il dominio [...]
Non mi risulta che l'integrale a là Riemann sia definito su insiemi non limitati come il dominio della funzione in questione...
"gugo82":
[quote="marcokrt"][...] certo, avrai sempre una funzione integrabile (secondo Riemann) su tutto il dominio [...]
Non mi risulta che l'integrale a là Riemann sia definito su insiemi non limitati come il dominio della funzione in questione...
[/quote]Hai ragionissima
, l'avevo giusto buttata lì come info in più leggendo di sfuggita qualcosa dell'OP che si ricollegava al discorso, ma poi ho colpevolmente omesso di specificare che per parlare della Riemann-integrabilità della funzione a gradoni (ipotetica) in questione avremmo dovuto preventivamente considerare un intervallo chiuso e limitato dell'asse delle ascisse da spezzettare poi ripercorrendo ciò che avevo scritto. Essendo per ipotesi la derivata prima sempre nulla su tutti quei sottointervalli, tutto il resto ne sarebbe conseguito.Scrivo qui durante la pause e sono abbastanza fuso.
"marcokrt":
[quote="gugo82"]
[quote="marcokrt"][...] certo, avrai sempre una funzione integrabile (secondo Riemann) su tutto il dominio [...]
Non mi risulta che l'integrale a là Riemann sia definito su insiemi non limitati come il dominio della funzione in questione...
[/quote]Hai ragionissima
, l'avevo giusto buttata lì come info in più leggendo di sfuggita qualcosa dell'OP [...] Scrivo qui durante la pause e sono abbastanza fuso.[/quote]
Va bene, ma cerca di non farlo.
Non è bene incasinare le discussioni (e la testa) altrui con informazioni -tra l'altro errate- del tutto scollegate dal resto.
Grazie.
@gugo82 In questo teorema però la continuità di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle 0 \) è già nelle ipotesi.
@kry_98 Sbaglio o anche per applicare de l'Hospital qui come proponevi tu: \[ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}f'(x)=0 \]
si presuppone implicitamente la continuità di\(\displaystyle f \) in \(\displaystyle 0 \)? Perché nelle ipotesi di de l'Hospital, deve venire una forma indefinita. Venendo \(\displaystyle 0 \) al denominatore, in questo caso al numeratore deve uscire \(\displaystyle 0 \) quindi. Cioè deve essere:
\[ \lim\limits_{x\rightarrow 0}(f(x)-f(0)) =0 \] Che è proprio la continuità di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle 0 \).
Quindi per poter procedere con de l'Hospital per concludere con il calcolo diretto della derivata in \(\displaystyle 0 \) e poi dedurre la continuità in \(\displaystyle 0 \), devo assumere la continuità in \(\displaystyle 0 \)! Quindi non ci possiamo ricondurre al ragionamento di OP.
Riassumendo: l'ipotesi di continuità di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle 0 \) o ce l'abbiamo già o la deduciamo per altra via (per es. dalla derivabilità in 0 data per ipotesi). Sbaglio qualcosa? @kry_98
@kry_98 Sbaglio o anche per applicare de l'Hospital qui come proponevi tu: \[ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}f'(x)=0 \]
si presuppone implicitamente la continuità di\(\displaystyle f \) in \(\displaystyle 0 \)? Perché nelle ipotesi di de l'Hospital, deve venire una forma indefinita. Venendo \(\displaystyle 0 \) al denominatore, in questo caso al numeratore deve uscire \(\displaystyle 0 \) quindi. Cioè deve essere:
\[ \lim\limits_{x\rightarrow 0}(f(x)-f(0)) =0 \] Che è proprio la continuità di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle 0 \).
Quindi per poter procedere con de l'Hospital per concludere con il calcolo diretto della derivata in \(\displaystyle 0 \) e poi dedurre la continuità in \(\displaystyle 0 \), devo assumere la continuità in \(\displaystyle 0 \)! Quindi non ci possiamo ricondurre al ragionamento di OP.
Riassumendo: l'ipotesi di continuità di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle 0 \) o ce l'abbiamo già o la deduciamo per altra via (per es. dalla derivabilità in 0 data per ipotesi). Sbaglio qualcosa? @kry_98
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