Esercizio di differenziabilità

[johnnyfreak1]

devo dimostrare che la funzione:

f(t) = t^2*sin(1/t) per t diverso da 0
= 0 per t = 0

è differenziabile con derivata discontinua in t = 0

in base a questo punto dimostrare che

f(x,y) = (x^2 + Y^2)*sin(1/rsq(x^2 + y^2)) per t diverso da 0
= 0 per (x,y) = (0,0)

è differenziabile con derivate parziali discontinue in (0,0)

[Fioravante Patrone1]

Ciao e benvenuto nel forum.
Lieto di leggere questo annuncio su quello che devi fare. Buon lavoro.

[johnnyfreak1]

grazie a te per l'accoglienza. Ovviamente si accettano consigli per lo svolgimento

[ViciousGoblin]

Dunque, in una variabile differenziabile equivale a derivabile. Quindi dimostriamo che $f$ e' derivabile in zero
(negli altri punti direi che la derivabilita' e' ovvia)
In zero applichiamo la definizione e consideriamo il limite del rapporto incrementale: se $x\ne 0$
$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x^2\sin(1/x)}{x}=x\sin(1/x)\to0$

Quindi $f$ e' derivabile e $f'(0)=0$.

Pero' se $x\ne 0$ $f'(x)= 2x\sin(1/x)+x^2\cos(1/x)(-\frac{1}{x^2})=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$.
Dato che $x\sin(1/x)\to0$ e' chiaro che $f'(x)$ non ha limite per $x\to0$


Per quanto riguarda la seconda parte lascio una pausa di riflessione (anche perche' devo decifrare il problema ... scrivere meglio le formule no?).