Esercizio di calcolo integrale triplo

[MrMojoRisin891]

Salve a tutti, sono alle prime armi con gli integrali tripli e guardando questo integrale non riesco a capire con quale metodologia procedere:
$\int int int_D 1/(y+1)^3dxdydz$
dove $D={(x,y,z):0
Qualcuno potrebbe aiutarmi, cercando di spiegarmi come procedere e perché? grazie mille

[phaerrax]

L'integranda è piuttosto semplice; può essere molto utile raffigurare l'insieme dato in modo da capire come parametrizzarlo.
In questo caso però è facile, praticamente già fatto: le variabili che hanno estremi fissi (ossia $x$ e $z$) vanno integrate "all'esterno", cioè per ultime. L'integrale più interno sarà nella variabile $y$, con estremi $0$ e $x+z$, quindi l'integrale diventa
\[
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
\int_0^2\int_0^1\int_0^{x+y}\frac1{(y+1)^3}\,\dd y\,\dd z\,\dd x.
\]

[MrMojoRisin891]

ciao, grazie per aver risposto.
fin li ci sono, ma poi mi trovo ad integrare
$-1/2int_0^2 int_0^1 (1/(x+z+1)^2-1)dzdx$, e li non so come andare avanti...

[Mathita]

Prova a porre $x+z+1=t\implies z= t-x-1\implies dz=dt$

Se $z=0\implies t=1+x$, mentre se $z=1\implies t=x+2$ dunque l'integrale da risolvere diventa

$-\frac{1}{2}\int_{0}^{2} \int_{1+x}^{x+2}\frac{1}{t^2}-1 dt dx$

[MrMojoRisin891]

e dire che ci avevo anche provato, ma quando sostituivo il differenziale non trattavo il $dx$ come costante e quindi mi veniva $dt = dz+dx$ che mi sballava tutto il resto...
Comunque, ora ci sono, grazie mille!

[Mathita]

Attenzione che io non ho trattato dx come se fosse una costante. Ho semplicemente considerato l'integrale

$\int_{0}^{1}(\frac{1}{(x+z+1)^2}-1)dz$

a parte e ho deciso di risolverlo per sostituzione.

[MrMojoRisin891]

La $x$, non il $dx$, scusa. Mi riferisco alla sostituzione $x+z+1=t$, $dz=dt$ che io erroneamente scrivevo $dx+dz=dt$