Esercizio di analisi matematica articolato

[chikko04]

salve a tutti e scusate se vi scomodo...
lunedì ho un esame di analisi matematica ed ho alcuni dubbi su alcune tipologie di esercizio:

- trovare se esistono i valori di a,b,c che verificano le seguenti condizioni della funzione:

NB: le condizioni non devono essere soddisfatte simultaneamente ma puntualmente.

$ 3(x)^(3) + a(x)^(2) +bx+c $

1- la funzione abbia un asintoto obliquo per x -> $ oo $
2-la funzione presenti un massimo relativo in x=1 e un flesso in x=5
3-la funzione presenti un minimo relativo in x=1 e un flesso in x=5
4-la funzione sia monotona crescente

per la domanda 1 sono giunto alla conclusione che non esistono valori di a,b,c che soddisfino quella relazione
per la 2 essendo un massimo relativo ho fatto che la derivata prima in x=1 sia negativa e posto la derivata seconda in x=5 uguale a 0, è giusto?
ovviamente per la 3 porrei la derivata prima >0 e sempre derivata seconda nulla nei due punti.

La 4 se gentilmente riuscite a fare due calcoli in quanto derivando poi non so come andare avanti...

grazie!

[yellow2]

Basta osservarla per capire che non può mai essere monotona decrescente: il coefficiente del termine di terzo grado è positivo.
Anche facendo la derivata si vede bene: viene un polinomio di secondo grado con "a">0, è ovvio che non potrà essere negativo per ogni x (il suo grafico è una parabola con la concavità rivolta verso l'alto).

[chikko04]

scusami ma avevo sbagliato a scrivere, monotona crescente non decrescente ho corretto

[yellow2]

La derivata è $18x^2+2ax+b$. Il suo grafico è una parabola rivolta verso l'alto. Che condizioni deve avere il discriminante, secondo te, affinché il polinomio sia sempre maggiore o uguale a zero? Puoi pensare alle radici del polinomio come intersezioni della parabola con l'asse $x$.

[chikko04]

affinchè sia sempre positiva il discriminante deve essere minore di 0 o sbaglio? se corretto come trovo poi i valori di a e b?c'ho pensato mezza giornata ma ho fatto pagine di calcoli senza concludere nulla!
non mi è chiaro cosa intendi per "pensare alle radici come intersezioni della parabola con l'asse x"

[yellow2]

Una funzione si annulla dove il suo grafico interseca l'asse x. Intendevo dire che puoi capire in questo modo che se l'equazione $18x^2+2ax+b$ ha 2 soluzioni reali distinte, ci sarà sicuramente in mezzo alle 2 un tratto in cui il grafico è sotto l'asse x, ossia la funzione è negativa. Quindi questo non può succedere. Il discrimante deve essere di conseguenza minore o uguale a zero, e non troverai valori definiti di $a$ e $b$ (perché ce ne sono infiniti), ma una relazione tra essi che devono rispettare. Ma anche la $c$ può assumere infiniti valori (tutti), non devi vederlo come un problema.

[chikko04]

io non se se ho sbagliato o meno i conti comunque ero giunto alla conclusione che c poteva esser qualsiasi valore, mentre il modulo di a doveva essere minore/uguale di b, però ho qualche dubbio...

per gli altri quesiti sono giusti i miei ragionamente?grazie!