Esercizio di analisi funzionele
ciao a tutti ho il seguente esercizio:
siano $Yi$ spazi vettoriali normati $i$€$A$ con $A$ di cardinalità qualsiasi, ne faccio il prodotto cioè considero l'insieme delle mappe da $A$ nell'unione degli $Yi$ con la proprietà che $f(i)$€$Yi$. Considero poi la somma diretta algebrica, cioè l'insieme delle mappe nel prodotto che sono nulle eccetto un numero finito di indici e su tale somma metto la norma p-esima cioè quella per cui considero la radice p-esima della somma su $i$ delle norme in $Yi$ di $f(i)$ elevate alla p. Devo dimostrare che se gli $Yi$ sono di Banach il completamento della somma diretta algebrica con tale norma è il sottoinsieme del prodotto costituito da quelle mappe per cui la somma su $i$ delle norme in $Yi$ di $f(i)$ alla p è minore di infinito...
è forte l'analogia con gli spazi $L^p$ solo che non riesco a visalizzare la somma diretta algebrica, cioè nel caso in cui $A=Yi=R$ mi viene da pensare alle funzioni nulle eccetto finiti punti ma non riesco a capire perchè il completamento dovrebbe essere lo spazio delle funzioni p-sommabili..qualcuno ha qualche esempio??
siano $Yi$ spazi vettoriali normati $i$€$A$ con $A$ di cardinalità qualsiasi, ne faccio il prodotto cioè considero l'insieme delle mappe da $A$ nell'unione degli $Yi$ con la proprietà che $f(i)$€$Yi$. Considero poi la somma diretta algebrica, cioè l'insieme delle mappe nel prodotto che sono nulle eccetto un numero finito di indici e su tale somma metto la norma p-esima cioè quella per cui considero la radice p-esima della somma su $i$ delle norme in $Yi$ di $f(i)$ elevate alla p. Devo dimostrare che se gli $Yi$ sono di Banach il completamento della somma diretta algebrica con tale norma è il sottoinsieme del prodotto costituito da quelle mappe per cui la somma su $i$ delle norme in $Yi$ di $f(i)$ alla p è minore di infinito...
è forte l'analogia con gli spazi $L^p$ solo che non riesco a visalizzare la somma diretta algebrica, cioè nel caso in cui $A=Yi=R$ mi viene da pensare alle funzioni nulle eccetto finiti punti ma non riesco a capire perchè il completamento dovrebbe essere lo spazio delle funzioni p-sommabili..qualcuno ha qualche esempio??
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