Esercizio di analisi funzionale...
...o per meglio dire sulla teoria degli spazi di Banach... L'avevo gia' postato nella sezione The English Corner, ma non ho suscitato molta attenzione. Allora
Sia $X$ uno spazio di Banach di dimensione infinita. Provare che $X$ ha dimensione non numerabile.
Sia $X$ uno spazio di Banach di dimensione infinita. Provare che $X$ ha dimensione non numerabile.
Risposte
Cosa vuol dire che uno spazio vettoriale ha dimensione numerabile? e cosa vuol dire piu' che numerabile?
"Luca.Lussardi":
Cosa vuol dire che uno spazio vettoriale ha dimensione numerabile? e cosa vuol dire piu' che numerabile?
Per dimensione di uno spazio vettoriale intendo la cardinalita' di una qualunque delle sue basi.
PS L'esercizio richiede l'applicazione di un celebre risultato di topologia...
Ma, scusa, ha senso parlare di base non finita di uno spazio vettoriale?
E comunque, seguendo il ragionamento, $ccl ^2$ non è addirittura uno spazio di Hilbert con base numerabile?
Boooh?????
E comunque, seguendo il ragionamento, $ccl ^2$ non è addirittura uno spazio di Hilbert con base numerabile?
Boooh?????
"amel":
Ma, scusa, ha senso parlare di base non finita di uno spazio vettoriale?
E comunque, seguendo il ragionamento, $ccl ^2$ non è addirittura uno spazio di Hilbert con base numerabile?
Boooh?????
Perche' $ccl^2$ ha base numerabile?
$l^2$ ha una base hilbertiana numerabile, ma essa non e' una base nel senso dell'algebra lineare, senso che per quanto mi riguarda e' ancora da precisare nel caso infinito.
@amel
Sandokan parla di base di Hamel (cioè quella che ignora la struttura di spazio euclideo, o di Hilbert, se vuoi), che è l'estensione della solita idea di base per uno spazio vettoriale di dimensione finita al caso generale
mentre tu ti riferisci alla base hilbertiana di $l^2$
tutto qui
ciao
Sandokan parla di base di Hamel (cioè quella che ignora la struttura di spazio euclideo, o di Hilbert, se vuoi), che è l'estensione della solita idea di base per uno spazio vettoriale di dimensione finita al caso generale
mentre tu ti riferisci alla base hilbertiana di $l^2$
tutto qui
ciao
"Luca.Lussardi":
$l^2$ ha una base hilbertiana numerabile, ma essa non e' una base nel senso dell'algebra lineare, senso che per quanto mi riguarda e' ancora da precisare nel caso infinito.
La definizione e' la stessa che nel caso finito: una base di uno spazio vettoriale $V$ e' un sottoinsieme linearmente indipendente massimale di $V$, o cio' che e' lo stesso un sistema di generatori minimale di $V$.
@Fioravante
Mi scuso di non aver visto il tuo post! Sono veramente lieto di averti qui con noi...
Mi scuso di non aver visto il tuo post! Sono veramente lieto di averti qui con noi...
Credo che si riferisca a una base di Hamel. Ovvero un sottoinsieme dello spazio tale per cui, dato un qualunque elemento dello spazio, fuori da questo insieme, esso è una combinazione lineare __finita__ di elementi della base.
O meglio, irrealtà la definizione più rigorosa è questa. $A$ si dice linearmente indipendente se per ogni $\{x_n\}_{n=1}^N \subset A$ finito, la relazione:
$ \sum_{n=1}^N \alpha_n x_n = 0 $
implica che tutti gli $\alpha_n$ sono nulli. Una base di Hamel $H$ è un insieme linearmente indipendente massimale. Ovvero preso un qualunque punto $x \in X \setminus H$ esiste un sottoinsieme $P \subset H$ __finito__, tale per cui $P \cup \{x\}$ non è linearmente indipendente.
L'esistenza di una base di Hamel credo sia garantita dall'assioma della scelta.
Ho già visto questo esercizio da qualche parte...
, ma secondo me senza hint è troppo difficile. Io aggiungo, quindi:
*** EDIT ***
Ovviamente era $X \setminus H$ non viceversa...
O meglio, irrealtà la definizione più rigorosa è questa. $A$ si dice linearmente indipendente se per ogni $\{x_n\}_{n=1}^N \subset A$ finito, la relazione:
$ \sum_{n=1}^N \alpha_n x_n = 0 $
implica che tutti gli $\alpha_n$ sono nulli. Una base di Hamel $H$ è un insieme linearmente indipendente massimale. Ovvero preso un qualunque punto $x \in X \setminus H$ esiste un sottoinsieme $P \subset H$ __finito__, tale per cui $P \cup \{x\}$ non è linearmente indipendente.
L'esistenza di una base di Hamel credo sia garantita dall'assioma della scelta.
Ho già visto questo esercizio da qualche parte...
, ma secondo me senza hint è troppo difficile. Io aggiungo, quindi: *** EDIT ***
Ovviamente era $X \setminus H$ non viceversa...
@Sandokan: grazie
ecco la "giustifica" (avrei voluto metterlo nel mio post ma è "locked"...)
Dopo una lunga, approfondita ed articolata discussione vi sono stati alcuni cambiamenti significativi e, per me, positivi, nella gestione del forum.
Pertanto non vi è più ragione da parte mia di "astenermi" dalla mate.
Avrei un certo numero di utenti da ringraziare, coi quali mi dovrei anche scusare. Mi sento comunque di aver fatto ciò che ritenevo giusto e spero che il forum possa guadagnare da quanto è emerso nella discussione fra amministratori e moderatori.
Ops... mi avete anticipato!
So che dovrei seguire il principio di Tamburino che ho in firma
Però posso chiedere una cosa (dal momento che non so un cavolo di questi argomenti)?
Perchè una base ortonormale non è un caso particolare di una base di Hamel?
(Scusate per la stupidità della domanda...)
P.S.: Bentornato Fioravante!
Però posso chiedere una cosa (dal momento che non so un cavolo di questi argomenti)?
Perchè una base ortonormale non è un caso particolare di una base di Hamel?
(Scusate per la stupidità della domanda...)
P.S.: Bentornato Fioravante!
"amel":
Perchè una base ortonormale non è un caso particolare di una base di Hamel?
ad esempio, in $l^2$: $(1, 1/2, 1/3, ... , 1/n, ... )$ è esprimibile come "serie di Fourier" con coefficienti $1/n$ a partire dalla solita base ortonormale "canonica"
ma non lo puoi scrivere come combinazione lineare (finita!) usando questa stesa base
"amel":
Però posso chiedere una cosa (dal momento che non so un cavolo di questi argomenti)?
Perchè una base ortonormale non è un caso particolare di una base di Hamel?
Se per ''base ortonormale'' intendi una base hilbertiana, allora la risposta e' che essa genera un sottospazio denso dello spazio ambiente, non necessariamente l'intero spazio.
Eh! Grazie, scusa!
OT:
05/09/2007, 11:09
FINALMENTE! Sono contento!
Bravi gli amministratori, bravo Sandokan (con la sua raccolta di firme), bravo amel, bravi tutti!!!
05/09/2007, 11:09
FINALMENTE! Sono contento!
Bravi gli amministratori, bravo Sandokan (con la sua raccolta di firme), bravo amel, bravi tutti!!!
"Fioravante Patrone":
@Sandokan: grazie
ecco la "giustifica" (avrei voluto metterlo nel mio post ma è "locked"...)
Dopo una lunga, approfondita ed articolata discussione vi sono stati alcuni cambiamenti significativi e, per me, positivi, nella gestione del forum.
Pertanto non vi è più ragione da parte mia di "astenermi" dalla mate.
Avrei un certo numero di utenti da ringraziare, coi quali mi dovrei anche scusare. Mi sento comunque di aver fatto ciò che ritenevo giusto e spero che il forum possa guadagnare da quanto è emerso nella discussione fra amministratori e moderatori.
Ne sono veramente felice!!
Allora, nessuno e' interessato? E' un esercizio abbastanza simpatico, dopo tutto...
Ragioniando per assurdo, sia $(x_n)$ una successione in $X$ tale che $span{x_0, x_1, \ldots, x_n, \ldots} = X$; per ogni $n$ poniamo $V_n = span{x_0, x_1, \ldots, x_n}$. Ora e' ovvio che $X = \cup V_n$, ciascun $V_n$ e' chiuso e $X \ne \emptyset$, per cui...
Per Sandokan.: non voglio provare a fare l'esercizio perchè non c'ho capito niente.
Ma, se non sono invadente e fastidoso, puoi toglierm una curiostà: a che anno stai?
Ma, se non sono invadente e fastidoso, puoi toglierm una curiostà: a che anno stai?
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