Esercizio di analisi

[fedspa95]

Qualcuno puo' dirmi come si dimostra?

[davi02]

E’ un caso particolare del seguente fatto: se

[math]x_1, x_2, \ldots, x_n[/math]

sono numeri reali non negativi, allora

[math]\lim_{p \to \infty}(x_1^p + x_2^p + \ldots + x_n^p)^{1/p} = \max\{x_1, x_2, \ldots, x_n \} [/math]

Dimostrazione. Supponiamo

[math]\max\{x_1, x_2, \ldots, x_n \} = x_k[/math]

. Allora, per ogni

[math]p \ge 1[/math]

[math]x_k^p \le x_1^p + x_2^p + \ldots + x_n^p \le nx_k^p[/math]

[math]x_k \le (x_1^p + x_2^p + \ldots + x_n^p)^{1/p} \le n^{1/p}x_k[/math]

La tesi segue ora dal teorema del confronto dei limiti, osservando che

[math]n^{1/p} \to 1[/math]

per

[math]p \to \infty[/math]

.