Esercizio di Analisi 1

[giuscri]

"Sia $f: \mathbb{R} - {0} -> \mathbb{R}$ definita come:

$f(x) = e^((a*b)/x) $ per $x<0$;

$f(x) = (log (1+x^b))/x^a$ per $x>0$.

Per quali $a, b \in \mathbb{R}$ è possibile prolungare f con continuità in x=0?"

La risoluzione mi sembra fin troppo ingenua, per questo vi chiedo di darle un'occhiata.
Ho pensato che quello che chiedesse l'esercizio fosse trovare un punto di discontinuità eliminabile, cioé trovare per quali valori di a e di b il limite destro e il limite sinistro della funzione coincidono, per x->0.
La questione è che a sinistra mi sembra la scelta di a e di b non influsca sul conto: ad ogni modo, per x che tende a 0, l'esponente tende a $-infty$, dunque il limite della funzione è 0. A destra invece, usando gli sviluppi di McLaurin arrestati al prim'ordine, per il logaritmo, la funzione tende al rapporto $x^b/x^a$. Dunque, scelto un b > a, dovrei aver soddisfatto la richiesta.

Mi sembra discretamente ingenua come idea, anche perché all'inizio mi aspettavo di trovare dei valori precisi di a e b.

Grazie mille!

[Quinzio]

edit.....

[giuscri]

Ma non dovrei avere $ab>0$? $x$ sta già tendendo a 0 per valori negativi; se ponessi anche $ab$ negativi, l'esponente tenderebbe a $\infty$. Non sono riuscito a seguirti.

[Quinzio]

Hai ragione....... eppure non ho bevuto...