Esercizio di analisi 1
Buongiorno a tutti, propongo uno degli esercizi di analisi 1 che avevo nel compito d'esame.
Io sono riuscito a fare il promo punto che non è difficile, mentre gli altri 2 non riesco a capirli...magari qualcuno ne sa piu di me (facile!!)
Sia $f:RR to RR$ derivabile. Supponiamo che
$lim_(xto+oo) (f(x)-x)=-1$ e $lim_(xto-oo) (f(x)+2x)=1$
a) Provare che esiste $\xi in RR$ tale che $f'(\xi)=0$
b) Provare che $f'(RR) supe (-2,1)$
c) provare che se $f$ è convessa, allora vale anche $f'(RR) sube [-2,1]$
Il primo è sufficiente scrivere le due definizioni di limite, assumere l'intervallo [M,K] dei valori prima/dopo i quali la funzione viene sparata all'infinito (+ e - infinito), applicare Weierstrass e poi Fermat.
Gli altri 2? Qualcuno mi sa aiutare?
Io sono riuscito a fare il promo punto che non è difficile, mentre gli altri 2 non riesco a capirli...magari qualcuno ne sa piu di me (facile!!)
Sia $f:RR to RR$ derivabile. Supponiamo che
$lim_(xto+oo) (f(x)-x)=-1$ e $lim_(xto-oo) (f(x)+2x)=1$
a) Provare che esiste $\xi in RR$ tale che $f'(\xi)=0$
b) Provare che $f'(RR) supe (-2,1)$
c) provare che se $f$ è convessa, allora vale anche $f'(RR) sube [-2,1]$
Il primo è sufficiente scrivere le due definizioni di limite, assumere l'intervallo [M,K] dei valori prima/dopo i quali la funzione viene sparata all'infinito (+ e - infinito), applicare Weierstrass e poi Fermat.
Gli altri 2? Qualcuno mi sa aiutare?
Risposte
Sei sicuro che i due limiti siano entrambi per $x\to + \infty$? Non è per caso uno a $+\infty$ e l'altro a $-\infty$?
Se è così, il secondo punto è abbastanza facile: infatti dal primo limite (dicendo che è a $-\infty$) ti ricavi $\lim_{x\to 0}(f(x)-x+1)=0$, cioè $f(x)$ ha per asintoto la retta $x-1$ per $x\to -\infty$, il che significa che $\lim_{x\to -\infty}f'(x)=1$; analogamente trovi $\lim_{x\to +\infty}f'(x)=-2$. A questo punto ti basta applicare la proprietà di Darboux per la funzione derivata, per concludere che assume tutti i valori compresi tra $-2$ e $1$, cioè che $f'(RR) supe (-2,1)$.
Se è così, il secondo punto è abbastanza facile: infatti dal primo limite (dicendo che è a $-\infty$) ti ricavi $\lim_{x\to 0}(f(x)-x+1)=0$, cioè $f(x)$ ha per asintoto la retta $x-1$ per $x\to -\infty$, il che significa che $\lim_{x\to -\infty}f'(x)=1$; analogamente trovi $\lim_{x\to +\infty}f'(x)=-2$. A questo punto ti basta applicare la proprietà di Darboux per la funzione derivata, per concludere che assume tutti i valori compresi tra $-2$ e $1$, cioè che $f'(RR) supe (-2,1)$.
E per quanto riguarda il primo, scusami, ma non capisco a cosa ti serva il teorema di Weierstrass e/o quello di Fermat. Ti servirebbero se dovessi dimostrare che $EE \xi | f'(\xi)=0$; per dimostrare che la funzione si annulla in un punto io utilizzerei il teorema degli zeri. Come ho scritto nel post precedente, dagli asintoti che possiede la funzione, si deduce che tende a $-\infty$ per $x\to +\infty$ e a $+\infty$ per $x\to -\infty$ (o viceversa), quindi basta applicare il teorema degli zeri generalizzato...
Per quanto riguarda l'ultimo punto ho trovato una soluzione se ammettiamo $f(x)$ derivabile due volte in $RR$. In tal caso si ha $f''(x) \geq 0$ il che naturalmente significa che $f'(x)$ è monotona crescente. Ma allora essendo monotona su di un intervallo, è iniettiva. Ora, assumendo a più e a meno infinito i valori 1 e -2, se per assurdo assumesse un valore $c$ non compreso tra questi due, allora cadrebbe l'iniettività. Mi spiego meglio: supponiamo per assurdo che $f'(x)$ assuma il valore $c>1$; allora assume tutti i valori, per la proprietà di Darboux della funzione derivata, compresi tra $c$ e $1$ e tra $c$ e $-2$; sia $h$ tale che $1
Ancora, sono scettico sul fatto che $f'(x)$ possa assumere i valori $-2$ e $1$. Sei sicuro che l'intervallo sia aperto e non chiuso? Se è chiuso, non so proprio come fare...
Ancora, sono scettico sul fatto che $f'(x)$ possa assumere i valori $-2$ e $1$. Sei sicuro che l'intervallo sia aperto e non chiuso? Se è chiuso, non so proprio come fare...
ho fatto la correzione, ovviamente un limite è per $x to +oo$ e il secondo per $x to -oo$ , scusa ma avevo sbagliato a riportare..
Per gli intervalli, soo giusti come li avevo scritti.
Comunque scusa ma se io applico Weierstrass e poi Fermat, ho dimostrato che esiste $\xi$ , proprio come mi richiede il testo..
E poi come fai a concludere col teorema degli zeri?
se fai un ''disegnino'' degli asintoti, potrebbe darsi che la funzione sta tutta sopra l'asse delle x. Ricorda che devo dimostrare che esiste un punto in cui LA DERIVATA si annulla,non la funzione...
per il punto b) che mi hai scritto è perfetto, non ci potevo arrivare perche non abbiamo mai parlato del Teorema di Darboux, anche se ha una sua logica....
Sto provando di nuovo il terzo punto ...pero non si potrebbe supporre che sia 2 volte derivabile..
Per gli intervalli, soo giusti come li avevo scritti.
Comunque scusa ma se io applico Weierstrass e poi Fermat, ho dimostrato che esiste $\xi$ , proprio come mi richiede il testo..
E poi come fai a concludere col teorema degli zeri?
se fai un ''disegnino'' degli asintoti, potrebbe darsi che la funzione sta tutta sopra l'asse delle x. Ricorda che devo dimostrare che esiste un punto in cui LA DERIVATA si annulla,non la funzione...
per il punto b) che mi hai scritto è perfetto, non ci potevo arrivare perche non abbiamo mai parlato del Teorema di Darboux, anche se ha una sua logica....
Sto provando di nuovo il terzo punto ...pero non si potrebbe supporre che sia 2 volte derivabile..
Allora correggi il primo post, perché c'è scritto:
ossia chiedi che la funzione si annulli, e non la derivata.
E riguardo all'ultimo punto, lo immaginavo che non si potesse assumere che $f(x)$ fosse derivabile due volte. Tuttavia, se si dimostrasse quello che ho detto, il problema sarebbe risolto...
"Arad0R":
a) Provare che esiste $\xi in RR$ tale che $f(\xi)=0$
ossia chiedi che la funzione si annulli, e non la derivata.
E riguardo all'ultimo punto, lo immaginavo che non si potesse assumere che $f(x)$ fosse derivabile due volte. Tuttavia, se si dimostrasse quello che ho detto, il problema sarebbe risolto...
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