Esercizio di analisi 1

[alessanfra]

Il quesito dice così:
"Stabilire per quali valori del parametro a è sommabile su R la funzione:

[math]f=2xe^{ax^2}[/math]

"
Praticamente non capisco cosa richiede l'esercizio, cioè che intende
Grazie per le delucidazioni :)

Aggiunto 1 giorni più tardi:

ti ringrazio, non avevo capito proprio che intendeva con "sommabile" :D

E poi volevo chiedere un'ultima cosa, se ho:

[math]y''+[(4y'): x]-[(4y): x^2]=2lnx[/math]

condizioni iniziali : y(1)=0 e y'(1)=1\2

praticamente è un'equ diff del 2 ordine a coeff non costanti, giusto?
come faccio a risolverla? perchè la prof ha spiegato solo quelle a coeff costanti, però a quanto pare su i compiti d'esame sono frequenti anke quelle di questo tipo e non so come risolverla

[ciampax]

Una funzione

[math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math]

si dice sommabile su un intervallo

[math](a,b)[/math]

se esiste finito l'integrale

[math]\int_a^b f(x)\ dx[/math]

nel tuo caso bisogna verificare per quali

[math]\alpha[/math]

l'integrale seguente

[math]\int_{-\infty}^{+\infty} 2x e^{ax^2}\ dx[/math]

risulta finito. Si può procedere in 2 modi:
MODO 1) cercando di calcolare esplicitamente l'integrale (cosa che non è sempre fattibile)
MODO 2) cercare di stabilire se valgono le condizioni di integrabilità (ce ne sono di vario tipo: la più comune è la seguente:

Sia

[math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math]

una funzione definita su tutto l'asse reale. L'integrale

[math]\int_a^{+\infty} f(x) dx[/math]

converge (esiste finito)

se e solo se per

[math]x\to+\infty[/math]

si ha

[math]f(x)\sim\frac{1}{x^alpha}[/math]

con

[math]\alpha>1[/math]

o, equivalentemente,

[math]\lim_{x\to+\infty} f(x)\cdot x^\alpha=\ell\not=0,\infty[/math]

Prova un po' e fammi sapere.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

L'equazione della forma

[math]x^2 y''+ax y'+b y=f(x)[/math]

si chiama equazione differenziale di Eulero (del secondo ordine). Per risolverla si cercano soluzioni della forma

[math]y(x)=x^\alpha[/math]

per l'equazione omogenea

[math]x^2 y''+ax y'+b y=0[/math]

alla quale si aggiunge una soluzione particolare usando il metodo di lagrange (o del Wronskiano).

Poiché

[math]y'=\alpha x^{\alpha-1},\ y''=\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}[/math]

sostituendo nell'equazione omogenea si trova

[math][\alpha(\alpha-1)+4\alpha-4]x^{\alpha}=0[/math]

da cui l'equazione algebrica

[math]\alpha^2+3\alpha-4=0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]\alpha=-4,\ \alpha=1[/math]

, e pertanto una generica soluzione dell'omogenea ha la forma

[math]y(x)=A x^{-4}+B x=\frac{A}{x^4}+ Bx[/math]

.

Per determinare una soluzione particolare utilizziamo il metodo di Lagrange (variazione delle costanti): dette

[math]u_1=1/x^4,\qquad u_2=x[/math]

da cui

[math]u_1'=-4/x^5,\qquad u_2'=1[/math]

si ricava

[math]W=u_1 u_2'-u_2 u_1'=1/x^4+4/x^4=5/x^4[/math]

e pertanto la soluzione particolare ha la forma, se

[math]f(x)=2x\ln x[/math]

[math]y_p(x)=-u_1\int\frac{u_2 f}{W}\ dx+u_2\int\frac{u_1 f}{W}\ dx=\\
-\frac{1}{x^4}\int\frac{2x^6\ln x}{5}\ dx+x\int\frac{2x\ln x}{5}\ dx=\\
-\frac{2}{5x^4}\left[\frac{x^7}{7}\ln x-\int\frac{x^7}{7}\cdot\frac{1}{x}\ dx\right]+\frac{2x}{5}\left[\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\ dx\right]=\\
-\frac{2x^3\ln x}{35}+\frac{2}{5x^4}\cdot\frac{x^7}{49}+\frac{x^3\ln x}{5}-\frac{2x}{5}\cdot\frac{x^2}{4}=\\
\frac{5x^3\ln x}{35}-\frac{45x^3}{490}=\frac{x^3}{7}\left[\ln x-\frac{9}{14}\right][/math]

La soluzione dell'equazione è pertanto

[math]y(x)=\frac{A}{x^4}+B x+\frac{x^3}{7}\left[\ln x-\frac{9}{14}\right][/math]

Per determinare

[math]A,\ B[/math]

usiamo le condizioni iniziali: poiché

[math]y'(x)=-\frac{4A}{x^5}+B+\frac{3x^2}{7}\left[\ln x-\frac{9}{14}\right]+\frac{x^3}{7}\cdot\frac{1}{x}[/math]

si ricava che

[math]0=y(1)=A+B-\frac{9}{98},\qquad \frac{1}{2}=y'(1)=-\frac{4A}{5}+B-\frac{27}{98}+\frac{1}{7}[/math]

sistema che si può riscrivere come

[math]A+B=\frac{9}{98},\qquad \frac{4A}{5}-B=-\frac{31}{49}[/math]

Sommando membro a membro si trova

[math]\frac{9A}{5}=-\frac{51}{98}[/math]

da cui

[math]A=-\frac{85}{294},\qquad B=\frac{8}{21}[/math]

[magox]

Scriviamo l'equazione così

[math]x^2y''+4xy'-4y=2x^2lnx[/math]

Una soluzione particolare può essere del tipo

[math] \bar{y}=(A\cdot lnx+B)x^2[/math]

Sostituendo e facendo i calcoli si trova che é

[math] \bar{y}=(\fra{1}{3}lnx-\frac{7}{18})x^2 [/math]

L'equazione omogenea associata è:

[math]x^2y''+4xy'-4y=0[/math]

Questa è una equazione di Legendre ( mi pare si chiami così) e si risolve con la posizione

[math]x=e^z[/math]

di modo che diventa :

[math]y''+3y'-4y=0[/math]

dove le derivazioni sono intese come fatte rispetto alla nuova variabile z.
La soluzione è :

[math]y=Me^{-4z}+Ne^z[/math]

oppure tornando alla variabile x:

[math]y=\frac{M}{x^4}+Nx[/math]

Abbiamo quindi la soluzione generale:

[math]y=\frac{M}{x^4}+Nx+(\fra{1}{3}lnx-\frac{7}{18})x^2 [/math]

Imponendo le condizioni iniziali si trova che

[math]M=-\frac{1}{9},N=\frac{1}{2}[/math]

In conclusione risulta:

[math]y=-\frac{1}{9x^4}+\frac{1}{2}x+(\fra{1}{3}lnx-\frac{7}{18})x^2[/math]