Esercizio di algebra

[Pivot1]

Sia M_3(R) lo spazio dele matrici di ordine tre a coefficienti reali.
Denotiamo con F l'appilicazione di M_3(R) in sè cosi definita:

per ogni A di M_3(R), F(A) = A - A^t (trasposta di A)

1) Mostrare che f è un endomorfismo di M_3(R)
2)determinare il Ker F
3)Determinare Im F e dimostrare che Im F e Ker F sono supplementare in M_3(R).


1)Come si sviluppa il primo punto? Da quale definizione di parte?

2) io ho pensato cosi:


$a b c$
$d e f$ = A
$g h i$

$a d g$
$b e h$ = A^t
$c f i$

$0 b-d c-g$
$d-b 0 f-h$ = F(A)
$g-c h-f 0 $


per definizione $Ker F ={A di M_3(R) / F(A) = (0)}$ allora:

$b=d$
$c=g$
$f=h$

il nucleo sarà formato da tutte e sole le matrici della forma:

$a b c$
$b e f$ = Ker F
$c f i $

tale che

$b=d$
$c=g$
$f=h$

$dim Ker F = 6$ ad una base è

B_Ker F = {

$1 0 0$
$0 0 0$
$0 0 0$

$0 1 0$
$1 0 0$
$0 0 0$

$0 0 1$
$0 0 0$
$1 0 0$

$0 0 0$
$0 1 0$
$0 0 0$

$0 0 0$
$0 0 1$
$0 1 0$

$0 0 0$
$0 0 0$
$0 0 1$


3) per definizione Im F = {A(M_3(R) / F(A)}

so che:

$0 b-d c-g$
$d-b 0 f-h$ = F(A)
$g-c h-f 0 $


pongo

$b-d$ = x
$c-g$ = y
$f-h$ = z

allora Im F =


$0 x y$
$-x 0 z$
$-y -z 0$

e la dim Im F = 3

una base è l'insieme:

$0 1 0$
$-1 0 0$
$0 0 0$

$0 0 1$
$0 0 0$
$-1 0 0$

$0 0 0$
$0 0 1$
$0 -1 0$


Secondo voi è corretto?

Come faccio a trovare poi un supplementare?

Grazie anticipate.

[Sk_Anonymous]

Punto 1
Devi dimostrare che ,dette A e B due matrici di $M_3(R)$ , si ha:
f(A+B)=f(A)+f(B) .
Infatti e':
$f(A+B)=(A+B)-(A+B)^t=A+B-A^t-B^t=(A-A^t)+(B-B^t)=f(A)+f(B)$
Archimede

[Pivot1]

Cioè che è additiva? ok...e poi? Gli altri punti sono fatti bene?

[Sk_Anonymous]

Si,sono esatti.Solo sulla base non ho indagato molto:si tratta di vedere se
le 6 matrici sono lin.ind. ma con tuttte ste matrici (per di piu' del 3° ordine)
non e' una cosa da poco.
Archimede