Esercizio d'esame su Numero Complesso
Salve a tutti, nell'esame che ho fatto la settimana scorsa di Analisi 1 c'era il seguente esercizio sui numeri complessi:
Disegnare nel piano complesso l'insieme $S={z in CC : Re((z+1)/(z-i))>0 , |z-1-i|<=1 }$
La seconda disequazione l'ho fatta ponendo prima $z-1-i>=-1 <=> z>i$ e poi $z-1-i<=1 <=> z<=i+2$
La prima disequazione ho provato a farla sostituendo $z=x+iy$ e portando fuori i reali quindi $(x+1)/(x)>0$
ma non ne sono sicuro per il fatto che al denominatore c'è $z-i$ quindi il numeratore è fratto un numero non reale.
Potete dirmi se è giusto o no e nell'ultimo caso dirmi anche cosa dovrei fare? Se poi riuscite a dirmi anche come deve venire il grafico è perfetto!
Grazie in anticipo
Disegnare nel piano complesso l'insieme $S={z in CC : Re((z+1)/(z-i))>0 , |z-1-i|<=1 }$
La seconda disequazione l'ho fatta ponendo prima $z-1-i>=-1 <=> z>i$ e poi $z-1-i<=1 <=> z<=i+2$
La prima disequazione ho provato a farla sostituendo $z=x+iy$ e portando fuori i reali quindi $(x+1)/(x)>0$
ma non ne sono sicuro per il fatto che al denominatore c'è $z-i$ quindi il numeratore è fratto un numero non reale.
Potete dirmi se è giusto o no e nell'ultimo caso dirmi anche cosa dovrei fare? Se poi riuscite a dirmi anche come deve venire il grafico è perfetto!
Grazie in anticipo
Risposte
La divisione tra numeri complessi è definita (quando il denominatore è non zero 
) e la sua parte reale si scrive (in modo noioso) come funzione delle parti reali degli operandi: se $z=(x,y)$ e $w=(s,t)$ allora la parte reale di $z/w$ è
\[
\frac{s x}{s^2+t^2}+\frac{t y}{s^2+t^2}
\]
Questo dovrebbe aiutarti e farti scrivere le equazioni soddisfatte dai punti $S$, identificato come una regione del piano
) e la sua parte reale si scrive (in modo noioso) come funzione delle parti reali degli operandi: se $z=(x,y)$ e $w=(s,t)$ allora la parte reale di $z/w$ è\[
\frac{s x}{s^2+t^2}+\frac{t y}{s^2+t^2}
\]
Questo dovrebbe aiutarti e farti scrivere le equazioni soddisfatte dai punti $S$, identificato come una regione del piano
Il modulo di un numero complesso $z=x+iy$ è dato da $|z|= sqrt(x^2+y^2)$ nell'esercizio, quindi $ |z-1-i|<=1 } $ diventa
$|x+iy-1-i|<=1$
$sqrt((x-1)^2+(y-1)^2)<=1$
Invece
$Re((z+1)/(z-i))>0 $ diventa $Re ((x+1+iy)/(x+iy-i)) >0$ bisogna prima "razionalizzarlo" moltiplicando numeratore e denominatore per $(x-iy+i)$
$Re((x^2+y^2+x-y)/(x^2+y^2-2y+1)+i(x-y+1)/(x^2+y^2-2y+1))>0$ che diventa $(x^2+y^2+x-y)/(x^2+y^2-2y+1)>0$
$|x+iy-1-i|<=1$
$sqrt((x-1)^2+(y-1)^2)<=1$
Invece
$Re((z+1)/(z-i))>0 $ diventa $Re ((x+1+iy)/(x+iy-i)) >0$ bisogna prima "razionalizzarlo" moltiplicando numeratore e denominatore per $(x-iy+i)$
$Re((x^2+y^2+x-y)/(x^2+y^2-2y+1)+i(x-y+1)/(x^2+y^2-2y+1))>0$ che diventa $(x^2+y^2+x-y)/(x^2+y^2-2y+1)>0$
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