Esercizio d'esame: studio limite al variare del parametro

[Delta Maximus]

Salve a tutti Posto lo studio di un limite al variare del parametro $ alpha in RR $ .

$ lim_(x -> 0) (cos(alphax)-sqrt(1+(x)^(2) ) -((alpha)^(2) (x)^(2)) )/ ((x-senx) ^(alpha)) $

Ho studiato il caso $ alpha =0 $ ottendo: $ lim_(x -> 0) 1-sqrt(1+x^2) =0$

Adesso per continuare lo studio per altri valori di \alpha rimango in questa forma del limite oppure conviene usare Taylor? Grazie

[Flaviuz1]

Ti conviene usare Taylor o de l'Hopital dall'inizio, altrimenti devi fare infiniti passaggi (uno per ogni $alpha$... )

[Delta Maximus]

ok, risolvendo con Taylor al denominatore posso dire che $ x-senx -> x^3/6 $ $ +o(x^3) $
e che quindi $ (x-senx)^alpha -> (x^3/6)^alpha $ ?

[Delta Maximus]

Se al denominatore fosse così, il limite sarebbe: $ lim_(x -> 0) (-3alpha^2x^2+x^2)/(2(x^3/(6))^alpha) $
Se tutto è esatto posso fare lo studio nei casi: $ alpha=0 $ , $ alpha>0 $ e $ alpha<0 $ ?

[Delta Maximus]

Chi può rispondere per favore? grazie