Esercizio d'esame massimo e minimo vincolati
Goodmorning guys, come da titolo sono alle prese con un esercizio di ottimizzazione che i sta dando di che pensare. Ecco il testo:
$ f(x,y)=(x^2+y^2)e^(x^2+y^2) $ vincolo: $ D={(x,y)in R^2 : x^2+y^2<=1, y>=0} $
Per prima cosa ho studiato gli estremi liberi:
$ f_x(x,y)=2xe^(x^2+y^2)(1+y^2+x^2)=0 $
$ f_y(x,y)=2ye^(x^2+y^2)(1+y^2+x^2)=0 $
Ora, il termine esponenziale e i termini fra parentesi non possono mai annullarsi dunque gli unici valori che annullano le derivate parziali sono x=0 e y=0, ottengo un primo punto (0,0)
A questo punto dovrei calcolare l'hessiana e verificare se (0,0) sia max, min o sella, ma data la mole di calcoli per il momento la tralascio.
Passiamo al vincolo. Qui ho avuto un po' di rogne ed ho ottenuto diversi risultati con due metodi diversi.
-Metodo 1: parametrizzo, ottenendo
$ gamma(t)={ ( x=cost ),( y=sint ):} 0<=t<=2pi $
Se non vado errando, sostituendo ottengo $ f(gamma(t))=e $, la cui derivata prima è ovviamente 0
Dunque il punto da me cercato è (1,0)? (ottenuto sostituendo 0 a t nella parametrizzazione)
Metto il punto di domanda perchè non sono sicuro di questo passaggio. Inoltre, ipotizzando che il mio ragionamento sia giusto, per sapere se sia di max o min dovrei confrontarlo con (0,0) (svolgendo l'hessiana)?
-Metodo 2: sfrutto la lagrangiana
$ Lambda(x,y,lambda)=(x^2+y^2)e^(x^2+y^2)-lambda(x^2+y^2-1) $
ne calcolo le derivate e le uguaglio a 0, risolvo il sistema:
$ { ( 2xe^(x^2+y^2)(1+x^2+y^2)-2lambdax=0 ),( 2ye^(x^2+y^2)(1+x^2+y^2)-2lambday=0 ),( x^2+y^2=1 ):} $
Ottengo come risultato:
$ { ( lambda=2e ),( y=0 ),( x=+-1 ):} $
Simile al precedente a meno della coordinata x=-1. Ottengo i punti (1,0) e (-1,0). Calcolando la funzione in quei punto, per entrambi ottengo che $ f(+-1,0)=e $ .
Come vedete sono un attimo confuso. Ho risolto numerosi esercizi su max e min vincolati e questo esercizio non capisco perchè mi ha incasinato così tanto. Potreste darmi qualche dritta?
Grazie a tutti in anticipo per le risposte (che spero numerose
)
$ f(x,y)=(x^2+y^2)e^(x^2+y^2) $ vincolo: $ D={(x,y)in R^2 : x^2+y^2<=1, y>=0} $
Per prima cosa ho studiato gli estremi liberi:
$ f_x(x,y)=2xe^(x^2+y^2)(1+y^2+x^2)=0 $
$ f_y(x,y)=2ye^(x^2+y^2)(1+y^2+x^2)=0 $
Ora, il termine esponenziale e i termini fra parentesi non possono mai annullarsi dunque gli unici valori che annullano le derivate parziali sono x=0 e y=0, ottengo un primo punto (0,0)
A questo punto dovrei calcolare l'hessiana e verificare se (0,0) sia max, min o sella, ma data la mole di calcoli per il momento la tralascio.
Passiamo al vincolo. Qui ho avuto un po' di rogne ed ho ottenuto diversi risultati con due metodi diversi.
-Metodo 1: parametrizzo, ottenendo
$ gamma(t)={ ( x=cost ),( y=sint ):} 0<=t<=2pi $
Se non vado errando, sostituendo ottengo $ f(gamma(t))=e $, la cui derivata prima è ovviamente 0
Dunque il punto da me cercato è (1,0)? (ottenuto sostituendo 0 a t nella parametrizzazione)
Metto il punto di domanda perchè non sono sicuro di questo passaggio. Inoltre, ipotizzando che il mio ragionamento sia giusto, per sapere se sia di max o min dovrei confrontarlo con (0,0) (svolgendo l'hessiana)?
-Metodo 2: sfrutto la lagrangiana
$ Lambda(x,y,lambda)=(x^2+y^2)e^(x^2+y^2)-lambda(x^2+y^2-1) $
ne calcolo le derivate e le uguaglio a 0, risolvo il sistema:
$ { ( 2xe^(x^2+y^2)(1+x^2+y^2)-2lambdax=0 ),( 2ye^(x^2+y^2)(1+x^2+y^2)-2lambday=0 ),( x^2+y^2=1 ):} $
Ottengo come risultato:
$ { ( lambda=2e ),( y=0 ),( x=+-1 ):} $
Simile al precedente a meno della coordinata x=-1. Ottengo i punti (1,0) e (-1,0). Calcolando la funzione in quei punto, per entrambi ottengo che $ f(+-1,0)=e $ .
Come vedete sono un attimo confuso. Ho risolto numerosi esercizi su max e min vincolati e questo esercizio non capisco perchè mi ha incasinato così tanto. Potreste darmi qualche dritta?
Grazie a tutti in anticipo per le risposte (che spero numerose
)
Risposte
Ciao Beppu95,
C'è un modo molto semplice di risolvere l'esercizio proposto, semplicemente ragionando...
Comincerei con l'osservare che la funzione di due variabili proposta ha dominio $D = \RR^2 $, è sempre positiva o al più nulla ed è pari:
$f(-x,y) = f(x, -y) = f(-x, - y) = f(x,y) $
Dunque ci possiamo limitare allo studio di ciò che accade nel primo quadrante.
Poi se osservi bene la parte con l'uguale del vincolo, non è altro che la parte positiva o nulla di una circonferenza di raggio $1$, quindi si può esplicitare rispetto a $y $ ottenendo $y = \sqrt{1 - x^2} $ (la soluzione negativa non va bene perché l'altra informazione che ci fornisce il vincolo è che deve essere $y >= 0$). A questo punto basta sostituire il vincolo esplicitato nella funzione di due variabili per ottenere una funzione nell'unica variabile $x$:
$f(x, \sqrt{1 - x^2}) = e $
Poi evidentemente si ha:
$f(0,0) = 0 $
$f(0, 1) = f(1,0) = e $
$f(\sqrt2/2, \sqrt2/2) = e $
C'è un modo molto semplice di risolvere l'esercizio proposto, semplicemente ragionando...
"Beppu95":
Ecco il testo:
$f(x,y)=(x^2+y^2)e^{x^2 + y^2}$ vincolo: $D={(x,y)\in \RR^2 : x^2+y^2 <= 1, y >= 0}$
Comincerei con l'osservare che la funzione di due variabili proposta ha dominio $D = \RR^2 $, è sempre positiva o al più nulla ed è pari:
$f(-x,y) = f(x, -y) = f(-x, - y) = f(x,y) $
Dunque ci possiamo limitare allo studio di ciò che accade nel primo quadrante.
Poi se osservi bene la parte con l'uguale del vincolo, non è altro che la parte positiva o nulla di una circonferenza di raggio $1$, quindi si può esplicitare rispetto a $y $ ottenendo $y = \sqrt{1 - x^2} $ (la soluzione negativa non va bene perché l'altra informazione che ci fornisce il vincolo è che deve essere $y >= 0$). A questo punto basta sostituire il vincolo esplicitato nella funzione di due variabili per ottenere una funzione nell'unica variabile $x$:
$f(x, \sqrt{1 - x^2}) = e $
Poi evidentemente si ha:
$f(0,0) = 0 $
$f(0, 1) = f(1,0) = e $
$f(\sqrt2/2, \sqrt2/2) = e $
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