Esercizio derivata direzionale

[davide.fede1]

Salve, riporto un esercizio di Analisi Matematica 2 che non sono riuscito a risolvere: In quale dei seguenti punti la funzione $f(x,y) = e^(-x^2y)$ non ammette una direzione rispetto alla quale la derivata direzionale vale $-4/e$ ? e tra i vari valori riportati quello corretto è $(3,1/9)$ . Ho provato a trovare la derivata direzionale di quest ultimo ma non sono riuscito ad avere un risultato dal limite. Potreste aiutarmi ?

[Studente Anonimo]

Premesso che la derivata direzionale è:

$(delf)/(delx)cos\theta+(delf)/(dely)sin\theta=-2xye^(-x^2y)cos\theta-x^2e^(-x^2y)sin\theta$

si tratta di risolvere l'equazione sottostante:

$-2xye^(-x^2y)cos\theta-x^2e^(-x^2y)sin\theta=-4/e rarr$

$rarr (2y)/sqrt(x^2+4y^2)cos\theta+x/sqrt(x^2+4y^2)sin\theta=(4e^(x^2y-1))/(xsqrt(x^2+4y^2)) rarr$

$rarr [cos(\theta-\alpha)=(4e^(x^2y-1))/(xsqrt(x^2+4y^2))] ^^ [cos\alpha=(2y)/sqrt(x^2+4y^2)] ^^ [sin\alpha=x/sqrt(x^2+4y^2)]$

Ergo, i punti richiesti dalla consegna sono quelli che soddisfano una delle condizioni sottostanti:

Condizione 1

$x=0$

Condizione 2

$|(4e^(x^2y-1))/(xsqrt(x^2+4y^2))| gt 1$

Insomma, non mi sembra che la soluzione indicata sia quella corretta.