Esercizio derivata direzionale

[cri981]

data la funzione $ f(x,y)=x^2y^2+2xy^3+y^4$ , calcolarne la derivata nel punto p=(0,1) in direzione (i+2j).

il mio svolgimento:
calcolo il gradiente:
$ grad f(x,y)=(2xy^2+2y^3,2yx^2+6xy^2+4y^3) $
sostituendo con $ P=(0,1)$ ottengo$ (2,4)$

a questo punto data la direzione$ i+2i $ come calcolo il vettore V ed effettuo il prodotto scalare tra il gradiente e il vettore V?

soluzione del libro:
$ grad(0,1)=2i+4j $ . Dunque la derivata direzionale richiesta è data da$ (i+2j)/(||i+2j||)*(2i+4j)=2sqrt(5)$
Grazie!

[pilloeffe]

Ciao cri98,

"cri98":soluzione del libro:
$ grad(0,1)=2i+4j $ .

Scusa, ma non è lo stesso risultato che hai ottenuto tu? Hai scritto $(2, 4) $ invece di $2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} $

"cri98":come calcolo il vettore V ed effettuo il prodotto scalare tra il gradiente e il vettore V?

Il vettore $\mathbf{v}$ l'hai già calcolato: $\mathbf{v} = 2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} $

"cri98":Dunque la derivata direzionale richiesta è data da

$(\mathbf{i} +2\mathbf{j})/(||\mathbf{i} +2\mathbf{j}||) \cdot (2\mathbf{i} +4\mathbf{j})= \frac{(\mathbf{i} +2\mathbf{j}) \cdot (2\mathbf{i} +4\mathbf{j})}{sqrt(5)} = \frac{2 + 8}{sqrt(5)} = \frac{10}{sqrt(5)} = 2 sqrt(5) $

[cri981]

ciao pilloeffe,
grazie per la risposta, tutto chiaro la cosa che non capisco è come si ottiene radice di 5 al denominatore?
grazie!

[Leonardo971]

$||i+2j||=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$.