Esercizio da dimostrare per induzione
Salve a tutti, vorrei dimostrare per induzione un esercizio e proprio non riesco a venirne a capo.
$(n/e)^n < n! $.
Il passo base l'ho dimostrato per $n>= 1 $ e viene.
Per il passo induttivo l'ipotesi è $(n/e)^n < n! $ e la tesi è $((n+1)/e) ^ (n+1) < (n+1)! $.
Quì mi sono bloccato...
$(n/e)^n < n! $.
Il passo base l'ho dimostrato per $n>= 1 $ e viene.
Per il passo induttivo l'ipotesi è $(n/e)^n < n! $ e la tesi è $((n+1)/e) ^ (n+1) < (n+1)! $.
Quì mi sono bloccato...
Risposte
ripropongo
Ciao,
Il primo passo consiste nel verificare la formula per \(\displaystyle n=1 \).
Naturalmente avremo \(\displaystyle 1/e < 1 \) evidentemente corretto.
Il secondo passo consiste nell'assumere come ipotesi che la disuguaglianza sia valida nel caso \(\displaystyle n \) e dimostrarla quindi nel caso \(\displaystyle n+1 \).
La disuguaglianza diventa allora
\(\displaystyle ((n+1)/e)^ {n+1} < (n+1)! \)
ovvero
\(\displaystyle ((n+1)/e)^n ((n+1)/e) < (n+1)n! \)
\(\displaystyle (\frac {(n(1+1/n))^n}{e^n} ((n+1)/e) < (n+1)n! \)
dove riconosciamo il limite notevole \(\displaystyle (1+1/n)^n = e \) al crescere di \(\displaystyle n \)
\(\displaystyle (n/e)^n e \frac {n+1}{e} < (n+1)n! \)
= \(\displaystyle (n/e)^n (n+1) < (n+1)n! \) = \(\displaystyle (n/e)^n < n! \)
quest'ultima vera per ipotesi.
Allora il caso \(\displaystyle n+1 \) si riconduce direttamente al caso \(\displaystyle n \) ed é a sua volta vero.
Avendo dimostrato la disuguaglianza per il caso \(\displaystyle n=1 \), poi per un \(\displaystyle n \) generico e per il successivo, essa é vera per ogni \(\displaystyle n \).
Ciao
Il primo passo consiste nel verificare la formula per \(\displaystyle n=1 \).
Naturalmente avremo \(\displaystyle 1/e < 1 \) evidentemente corretto.
Il secondo passo consiste nell'assumere come ipotesi che la disuguaglianza sia valida nel caso \(\displaystyle n \) e dimostrarla quindi nel caso \(\displaystyle n+1 \).
La disuguaglianza diventa allora
\(\displaystyle ((n+1)/e)^ {n+1} < (n+1)! \)
ovvero
\(\displaystyle ((n+1)/e)^n ((n+1)/e) < (n+1)n! \)
\(\displaystyle (\frac {(n(1+1/n))^n}{e^n} ((n+1)/e) < (n+1)n! \)
dove riconosciamo il limite notevole \(\displaystyle (1+1/n)^n = e \) al crescere di \(\displaystyle n \)
\(\displaystyle (n/e)^n e \frac {n+1}{e} < (n+1)n! \)
= \(\displaystyle (n/e)^n (n+1) < (n+1)n! \) = \(\displaystyle (n/e)^n < n! \)
quest'ultima vera per ipotesi.
Allora il caso \(\displaystyle n+1 \) si riconduce direttamente al caso \(\displaystyle n \) ed é a sua volta vero.
Avendo dimostrato la disuguaglianza per il caso \(\displaystyle n=1 \), poi per un \(\displaystyle n \) generico e per il successivo, essa é vera per ogni \(\displaystyle n \).
Ciao
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