Esercizio curve e ascissa curvilinea
Ragazzi buonasera!
Nel pomeriggio mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
“Si consideri la curva in $RR^3$ di equazione: $r(t)= e^t cos(t) i + e^t sin(t) j + e^t k$ dove $t in RR$. Calcolare l'ascissa curvilinea s(t), calcolata a partire dal punto $t=0$ e si riscriva l'equazione della curva rispetto al parametro s”.
Io ho ragionato così: $s(t) = int_(0)^(t) |g'(t)| dt$ dove $g(t)$ è la parametrizzazione della curva, ma svolto l'integrale mi viene una cosa assurda! Quindi come dovrei fare? Dove sbaglio?
Grazie mille!
Nel pomeriggio mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
“Si consideri la curva in $RR^3$ di equazione: $r(t)= e^t cos(t) i + e^t sin(t) j + e^t k$ dove $t in RR$. Calcolare l'ascissa curvilinea s(t), calcolata a partire dal punto $t=0$ e si riscriva l'equazione della curva rispetto al parametro s”.
Io ho ragionato così: $s(t) = int_(0)^(t) |g'(t)| dt$ dove $g(t)$ è la parametrizzazione della curva, ma svolto l'integrale mi viene una cosa assurda! Quindi come dovrei fare? Dove sbaglio?
Grazie mille!
Risposte
Secondo me è un problema di calcolo delle derivate: nel tuo caso $g(t)=r(t)$.
Quindi non ho capito, devo fare come ho detto o no?
In che senso è un problema di calcolo delle derivate?
In che senso è un problema di calcolo delle derivate?
Allora:
$r'(t)=e^t[(\cos t-sin t)i+(\sin t+\cos t)j+k]$ e quindi
$|r'(t)|=e^t\sqrt{(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2+1}=e^t\sqrt{1-2\sin t\cos t+1+2\sin t\cos t+1}=e^t\sqrt{3}$
quindi mi pare che l'integrale diventi una bazzecola.
$r'(t)=e^t[(\cos t-sin t)i+(\sin t+\cos t)j+k]$ e quindi
$|r'(t)|=e^t\sqrt{(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2+1}=e^t\sqrt{1-2\sin t\cos t+1+2\sin t\cos t+1}=e^t\sqrt{3}$
quindi mi pare che l'integrale diventi una bazzecola.
Cacchio forse avevo sbagliato i conti! Perfetto grazie ragazzi!
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