Esercizio curve di livello
Salve a tutti,
sto facendo un po' di esercizi sulle curve di livello; finchè si chiede di determinare le curve di livello di funzioni esplicitate, tipo $z=arcsen(xy)$ è banale, ma come devo procedere quando mi chiede di fare la stessa cosa su $z=f(sqrt(x^2+y^2))$ ? Forse è banale anche questo (e se lo è mi scuso), ma mi confonde questo tipo di notazione mai incontrata! Non credo che sia la stessa cosa di $f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)$ , è giusto?
Grazie in anticipo,
Valentina
sto facendo un po' di esercizi sulle curve di livello; finchè si chiede di determinare le curve di livello di funzioni esplicitate, tipo $z=arcsen(xy)$ è banale, ma come devo procedere quando mi chiede di fare la stessa cosa su $z=f(sqrt(x^2+y^2))$ ? Forse è banale anche questo (e se lo è mi scuso), ma mi confonde questo tipo di notazione mai incontrata! Non credo che sia la stessa cosa di $f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)$ , è giusto?
Grazie in anticipo,
Valentina
Risposte
La notazione $[z=f(sqrt(x^2+y^2))]$ esprime il fatto che la funzione dipende solamente dalla distanza dall'origine del punto del piano in cui è valutata. Ergo, le curve di livello sono circonferenze aventi il centro nell'origine medesima. Ovviamente, $[f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)]$ è solo una delle infinite funzioni che si possano immaginare.
...ok, ho capito. Ma questo passaggio intuitivo come lo formalizzo con un'altra funzione, tipo $z=f(x/y)$?
Più in generale, quando $[z=f(g(x,y))]$, le curve di livello sono $[g(x,y)=C]$. Ergo, nel caso particolare da te proposto, $[x/y=C]$.
Ecco!! Questo passaggio qui mi mancava. Grazie mille! 
Guarda alla struttura generale, non focalizzarti sul particolare.
Hai una funzione composta del tipo \(F(x,y):=f(\phi (x,y))\) e ti viene chiesto di determinarne le curve di livello.
Evidentemente, se fissi \(k\in \operatorname{Im} F\) (cioè nell'immagine di \(F\)), dovrà necessariamente esistere un \(t\in \operatorname{Dom} f\) tale che:
\[
f(t)=k\; ;
\]
conseguentemente, un tratto della curva di livello \(F(x,y)=k\) è certamente dato dalla curva di equazione implicita \(\phi (x,y)=t\).
Ovviamente, gli altri rami della curva si ottengono in corrispondenza delle curve corrispondenti ai valori di \(t\) che risolvono l'equazione \(f(t)=k\).
Hai una funzione composta del tipo \(F(x,y):=f(\phi (x,y))\) e ti viene chiesto di determinarne le curve di livello.
Evidentemente, se fissi \(k\in \operatorname{Im} F\) (cioè nell'immagine di \(F\)), dovrà necessariamente esistere un \(t\in \operatorname{Dom} f\) tale che:
\[
f(t)=k\; ;
\]
conseguentemente, un tratto della curva di livello \(F(x,y)=k\) è certamente dato dalla curva di equazione implicita \(\phi (x,y)=t\).
Ovviamente, gli altri rami della curva si ottengono in corrispondenza delle curve corrispondenti ai valori di \(t\) che risolvono l'equazione \(f(t)=k\).
@gugo82
In effetti, sono stato un po' rozzo.
In effetti, sono stato un po' rozzo.
Grazie per la chiarissima precisazione!
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