Esercizio curva non rettificabile

[virgil911]

Salve a tutti. Devo dimostrare che una curva non è rettificabile.
La curva è costituita da una serie di segmenti di estremi rispettivamente : (1,1) (1/2,-1/2) (1/3,1/3) (1/4,-1/4) e così via....
Purtroppo non riesco a venirne fuori Ho provato a calcolare la lunghezza dei segmenti nel tentativo di ottenere una serie divergente ma non concludo nulla
Potreste darmi qualche consiglio su come operare?
Grazie mille in anticipo

[gugo82]

A me sembra rettificabilissima.

[virgil911]

Scusami , ma a questo risultato arrivi sempre dimostrando che la serie costituita dai "segmenti" converge?

[gugo82]

Ah, no, scusa... Avevo sbagliato un segno.

Gli estremi dei segmenti sono i punti [tex]$x_n=(\tfrac{1}{n}, \tfrac{(-1)^n}{n}) \in \mathbb{R}^2$[/tex], ergo la lunghezza totale della curva è data da:

[tex]$L=\sum_{n=1}^{+\infty} |x_{n+1}-x_n|$[/tex];

ora:

[tex]$|x_{n+1}-x_n|^2=\left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)^2+\left( \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}-\frac{(-1)^n}{n}\right)^2$[/tex]
[tex]$\left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)^2+\left( \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}+\frac{(-1)^{n+1}}{n} \right)^2$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{n^2(n+1)^2}+\frac{(2n+1)^2}{n^2(n+1)^2}$[/tex]
[tex]$=\frac{(2n+1)^2+1}{n^2(n+1)^2}$[/tex]

e si vede che:

[tex]$|x_{n+1}-x_n| \approx \frac{2n+1}{n(n+1)} \approx \frac{2}{n}$[/tex]

sicché la successione degli addendi di [tex]$L$[/tex] è asintoticamente equivalente a quella della serie armonica; conseguentemente [tex]$L=+\infty$[/tex].

[virgil911]

Non potevi essere più chiaro Grazie mille