Esercizio convergenza totale serie di funzioni

[gian.f1]

Studiare la convergenza totale della serie di funzioni:

$sum_(n = 1)(sqrt(n+3)(x^2-2)^n)/(3^n+2n^2) = sum_(n = 1)f_n(x)$

Il mio problema è che non saprei come continuare dopo aver trovato il massimo di $f_n$.

$(df_n)/(dx) = sum_(n = 1)(nsqrt(n+3)(x^2-2)^(n-1)2x)/(3^n+2n^2) $

punti critici per $x=0, x=+-2$, risulta che $|f_n(x)| <= |f_n(0)| = M$, siccome $f_n(+-2)=0$.

cioè $M = |f_n(0)| = (2^nsqrt(n+3))/(3^n+2n^2)$

dopodiché non saprei come estrarre da $M$ una successione che converga e che maggiori $f_n(x)$.
Ho provato in vari modi il criterio del rapporto e della radice ma mi ritrovo sempre con il limite uguale a 1.

Qualche suggerimento?

[dan952]

Affidandomi ai conti per il massimo...
Prova a maggiorare così $(2^n\sqrt{n+3})/(3^n+2n^2)

Cita

Segnala

[gian.f1]

Grazie dan95, ho trovato anche

$(2^n\sqrt{n+3})/(3^n+2n^2)<=sqrt(n+3)(2/3)^n$

così da comprendere tutti gli indici, siccome il primo indice non rispetta la disuguaglianza nella tua maggiorazione.