Esercizio: convergenza serie di Laurent e calcolo somma

[NeuroFrank]

Salve a tutti, ho un piccolo problemino con questo esercizio, ho pensato ad una possibile soluzione ma non sono molto convinto. L'esercizio in questione è il seguente.
Dire in quale regione del piano complesso converge la serie di Laurent e calcolarne la somma:
$\sum_{n=-oo}^1 (i(z-2))^n$

Ho separato la serie in parte singolare e parte regolare riscrivendola così: $1 + i(z-2) + \sum_{n=-oo}^-1 (i(z-2))^n$

Adesso studio la parte singolare facendo un cambio di variabili e riscrivendola $\sum_{n=1}^oo t^n/i^n $ con $ t=1/(z-2)$

Il raggio convergenza mi viene $i$ perciò la serie converge assolutamente e puntualmente per $1/|z-2| $1/|z-2|<=a per $t=+-i$ non converge quindi non posso applicare Abel, ma adesso cosa dico della parte regolare?
La somma mi viene $ 1/(1-(i(z-2))^-1) + i(z-2)$

[dissonance]

"NeuroFrank":Il raggio convergenza mi viene $i$

$1/|z-2|Ehi! Stai attento a quello che scrivi. Cosa sono queste disuguaglianze con numeri immaginari?!? Che senso ha un "raggio di convergenza" immaginario? Rivedi bene il tuo post e stai attento perché ad un esame questi errori ti costano carissimi.

[NeuroFrank]

Caspita hai pienamente ragione!
Rifaccio i calcoli. La serie viene $\sum_{n=1}^oo t^n $ con $ t=1/(i(z-2))$

Ora il raggio di convergenza è 1.
Quindi converge assolutamente per $|1/(i(z-2))|<1$ e totalmente per $|1/(i(z-2))|<=a <1$
Per $t=+-1$ non converge.
Così mi sembra giusto.

[dissonance]

Si, l'unica cosa è che \(t\) è un numero complesso, quindi non basta discutere \(t=\pm 1\), dovresti considerare tutte le \(t\in \mathbb{C}\) tali che \(\lvert t \rvert =1\). Mi pare che, comunque, il risultato sia sempre lo stesso: per \(\lvert t \rvert =1\) la serie \(\sum t^n\) non converge.

Vabbè, comunque ci sei. Restano da svolgere le disequazioni \(\left\lvert \frac{1}{i(z-2)}\right\rvert < 1\) e \(\left\lvert \frac{1}{i(z-2)}\right\rvert \le a < 1.\)

[NeuroFrank]

Innanzitutto grazie mille per l'aiuto!

Visto che $|i|=1$ la prima disequazione mi viene $|z-2|>1$ e quindi converge in tutto lo spazio al di fuori del cerchio di raggio 1 e centro 2 e non converge al suo interno.
La seconda disequazione mi viene $|z-2|>=a>1$.

[dissonance]

Si, solo che devi sostituire \(1/a\) ad \(a\), mi sa. Vabbè.

[NeuroFrank]

Mi sa che hai ragione .