Esercizio convergenza serie criterio integrali

[cestra1]

Salve ragazzi oggi ho fatto l'esame di analisi 2 e credo che da questo esercizio dipenderà la mia sorte.
Determinare il carattere della serie

$ sum_(n = 1)^(oo) 1/(ln(n)(n^3+n)^(1/3)) $

Ecco il mio procedimento:

ho utilizzato il criterio degli integrali

$ lim_(a -> oo) int_(1)^(a) 1/(ln(x)(x^3+x)^(1/3) $

Ho portato $x^3$ fuori radice

$ lim_(a -> oo) int_(1)^(a) 1/(ln(x)x(1+1/x^2)^(1/3) $

ECCO QUI IL PROBLEMA:
nel compito ho continuanto il problema studiando questo integrale trascurando la radice visto che avevo $1+1/x^2$ sotto radice
$ lim_(a -> oo) int_(1)^(a) 1/(ln(x)x $

Continuando ho notato che questo integrale diverge.

Il fatto è posso fare in questo modo trascurando la radice? Fatemi sapere al più presto! Speriamo bene :U(

[EnderWiggins]

Io personalmente non lo avrei trascurato, tuttavia ricorrendo al criterio di convergenza:
$1/(ln(x)(x^3+x)^(1/3))\sim1/(ln(x)x)\sim1/x^\alpha$ per $x->+\infty$ con $\alpha>1$ e quindi mi risulta convergente. A te come ha fatto a venire divergente?
Magari ho sbagliato qualcosa..

[ObServer]

Ti spiego subito perchè hai sbagliato:

una sostanza come $(1 + 1/x^2)^(1/3) \ -> 1$ per $x->+oo$, e mi può stare anche bene, ma questa sostanza non vale esattamente 1, quindi in questo caso molto sottile come la convergenza di una serie, trascurarlo può portare ad errori.

Utilizzando le approssimazioni di Taylor (puoi fare la riprova col limite notevole)

$(1 + 1/x^2)^(1/3) \ = \ 1 + 1/(3x^2) + o(x^2)$

se lo avessi riscritto in questi termini, poi svolgendo, avresti notato che effettivamente l'esponente del denominatore è maggiore di 1, e l'integrale converge.
Mi dispiace..
Magari sarai sufficiente con gli altri esercizi, mi pare che il metodo ce l'hai...