Esercizio convergenza serie
Sto facendo degli esami di analis 2 degli anni passati, per prepararmi per lo scritto e mi sono imbattuto in questo esercizio:
Data la successione di funzioni $f_n(x)= (n+2)/(n+x^2)$
a) determinare l’insieme di convergenza;
b) determinare se la successione converge uniformemente in [−1, 1];
c) determinare il generico intervallo di convergenza uniforme.
Se io faccio : $lim_(n->infty) f_n (x) = 1$ indipendentemente dal valore di x.
Quindi la serie diverge per ogni x? Per convergere dovrebbe tendere a zero no?
Ammesso che ciò che ho detto sia corretto, se non converge per nessun valore di x non avrebbe senso porre le altre domande?!?!
Quindi son quasi sicuro che sto sbagliando da qualche parte.
Per determinare la convergenza uniforme potrei utilizzare Weierstrass, cercando un maggiorante e vedere poi se la serie del sup va a zero.
Mi potreste spiegare come va fatto questo esercizio?
Grazie mille!
Data la successione di funzioni $f_n(x)= (n+2)/(n+x^2)$
a) determinare l’insieme di convergenza;
b) determinare se la successione converge uniformemente in [−1, 1];
c) determinare il generico intervallo di convergenza uniforme.
Se io faccio : $lim_(n->infty) f_n (x) = 1$ indipendentemente dal valore di x.
Quindi la serie diverge per ogni x? Per convergere dovrebbe tendere a zero no?
Ammesso che ciò che ho detto sia corretto, se non converge per nessun valore di x non avrebbe senso porre le altre domande?!?!
Quindi son quasi sicuro che sto sbagliando da qualche parte.
Per determinare la convergenza uniforme potrei utilizzare Weierstrass, cercando un maggiorante e vedere poi se la serie del sup va a zero.
Mi potreste spiegare come va fatto questo esercizio?
Grazie mille!
Risposte
"Giovao6":
mi sono imbattuto in questo esercizio:
Data la successione di funzioni $f_n(x)= (n+2)/(n+x^2)$
a) determinare l’insieme di convergenza;
b) determinare se la successione converge uniformemente in [−1, 1];
c) determinare il generico intervallo di convergenza uniforme.
Se io faccio : $lim_(n->infty) f_n (x) = 1$ indipendentemente dal valore di x.
Quindi la serie diverge per ogni x? Per convergere dovrebbe tendere a zero no?
E perché mai?
Qual è la definizione di convergenza puntuale per le successioni di funzioni?
"Giovao6":
Ammesso che ciò che ho detto sia corretto, se non converge per nessun valore di x non avrebbe senso porre le altre domande?!?!
Quindi son quasi sicuro che sto sbagliando da qualche parte.
Beh, è evidente...
"Giovao6":
Per determinare la convergenza uniforme potrei utilizzare Weierstrass, cercando un maggiorante e vedere poi se la serie del sup va a zero.
... che ti stai confondendo con le serie di funzioni.
Bene... siamo d'accordo sul fatto che io mi stia confondendo... potresti fari luce sui miei dubbi?
Che dice il libro?
Quali sono le definizioni di convergenza puntuale ed uniforme per le successioni?
Come si applicano nel tuo caso?
Quali sono le definizioni di convergenza puntuale ed uniforme per le successioni?
Come si applicano nel tuo caso?
Allora:
Le serie di funzioni sono le successioni di somme parziali fatte in questo modo:
$f(x) = sum_(n=1)^infty f_n(x) = lim _(n-> infty) sum_(k=1)^infty f_k(x)$
Def: "Siano $AinRR$, $f_n : A->RR$. $AAn in NN$ si dice che ${f_n}$ converge nel punto $x_o in A$ se $EE lim_(n->infty) f_n(x) in RR$
$f(x)=lim(n->infty) f_n(x)$ in A converge puntualmente se $AA x in A , AA epsilon>0, EE n_(epsilon,x) in NN, AA n>n_(epsilon,x)$ si ha $| f_n(x)-f(x)|< epsilon $
Per vedere se converge uniformemente
Def:
$f(x)=lim(n->infty) f_n(x)$ in A converge uniformemente se $AAepsilon>0, EE n_epsilon in NN, AAx in A$ tale che $AAn > n_epsilon$ si ha $|f_n(x) - f(x)| < epsilon$
In questo caso n dipende solamente da $epsilon$
Una definizione equivalente di convergenza uniforme si ha per:
$ Sup _(x in A) |f_n(x)-f(x)| < epsilon$
Nel caso del mio esercizio $lim _(n->infty) f_n (x) =1 ,AA x in RR$
Devo determinare l'estremo superiore di $|f_n(x) - f(x)|$ con $x in RR$ e vedere se tende a zero.
Mentre per l'intervallo di convergenza generica devo prendere un valore a>0 e vedere se $Sup_(x in [-a,a])|f_n(x) - f(x)| -> 0$
E' corretto ora il ragionamento?
Le serie di funzioni sono le successioni di somme parziali fatte in questo modo:
$f(x) = sum_(n=1)^infty f_n(x) = lim _(n-> infty) sum_(k=1)^infty f_k(x)$
Def: "Siano $AinRR$, $f_n : A->RR$. $AAn in NN$ si dice che ${f_n}$ converge nel punto $x_o in A$ se $EE lim_(n->infty) f_n(x) in RR$
$f(x)=lim(n->infty) f_n(x)$ in A converge puntualmente se $AA x in A , AA epsilon>0, EE n_(epsilon,x) in NN, AA n>n_(epsilon,x)$ si ha $| f_n(x)-f(x)|< epsilon $
Per vedere se converge uniformemente
Def:
$f(x)=lim(n->infty) f_n(x)$ in A converge uniformemente se $AAepsilon>0, EE n_epsilon in NN, AAx in A$ tale che $AAn > n_epsilon$ si ha $|f_n(x) - f(x)| < epsilon$
In questo caso n dipende solamente da $epsilon$
Una definizione equivalente di convergenza uniforme si ha per:
$ Sup _(x in A) |f_n(x)-f(x)| < epsilon$
Nel caso del mio esercizio $lim _(n->infty) f_n (x) =1 ,AA x in RR$
Devo determinare l'estremo superiore di $|f_n(x) - f(x)|$ con $x in RR$ e vedere se tende a zero.
Mentre per l'intervallo di convergenza generica devo prendere un valore a>0 e vedere se $Sup_(x in [-a,a])|f_n(x) - f(x)| -> 0$
E' corretto ora il ragionamento?
Yes.
Ora prova un po' a fare i conti...
Ora prova un po' a fare i conti...
Devo calcolarmi l'andamento della funzione (derivata prima) per vedere quel'è il Sup no?
Nel mio caso ho:
$d/dx (f_n(x)) = - (2x(n+2)) / ((n+x^2)^2)$ che risulta essere positiva per $x<=0$, pertanto in quel punto ha un massimo e li la funzione tende a 1
Quindi posso dire che la mia funzione non converge uniformemente in $RR$
(E' giusto?)
Oppure devo trovare un maggiorante della funzione f_n(x) e vedere se questo tende o meno a zero?
Nel mio caso ho:
$d/dx (f_n(x)) = - (2x(n+2)) / ((n+x^2)^2)$ che risulta essere positiva per $x<=0$, pertanto in quel punto ha un massimo e li la funzione tende a 1
Quindi posso dire che la mia funzione non converge uniformemente in $RR$
(E' giusto?)
Oppure devo trovare un maggiorante della funzione f_n(x) e vedere se questo tende o meno a zero?
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