Esercizio convergenza serie
Salve! 
Avrei bisogno del vostro aiuto per lo svolgimento di questo esercizio sulle serie numeriche!
Il testo è:
$ sum_(n = 1)^ (+∞) ((1/5alpha )^(n^2)(n+2)^2)/(n!) $
Devo trovare per quali valori di $ alpha $ la serie converge.
Svolgimento: Io ho provato ad utilizzare il Criterio del Rapporto e so che la serie converge se $ lim_(n -> +∞) (a_(n+1))/(a_n) =k<1 $
E risulta:
$ sum_(n = 1)^(+∞) ((1/5alpha )^((n+1)^2)(n+3)^2)/((n+1)!).(n!)/((1/5alpha )^(n^2)(n+2)^2) $
$ sum_(n = 1)^(+∞) ((1/5alpha )^((n+1)^2)(n+3)^2)/((n+1)). 1/((1/5alpha )^(n^2)(n+2)^2) $
$ sum_(n = 1)^(+∞) ((1/5alpha )^(1+2n)(n+3)^2)/((n+1)(n+2)^2) $
Poi non riesco più ad andare avanti! Qualche suggerimento??
Grazie mille in anticipo!
(Ho imparato a scrivere le formule!!
)
Avrei bisogno del vostro aiuto per lo svolgimento di questo esercizio sulle serie numeriche!
Il testo è:
$ sum_(n = 1)^ (+∞) ((1/5alpha )^(n^2)(n+2)^2)/(n!) $
Devo trovare per quali valori di $ alpha $ la serie converge.
Svolgimento: Io ho provato ad utilizzare il Criterio del Rapporto e so che la serie converge se $ lim_(n -> +∞) (a_(n+1))/(a_n) =k<1 $
E risulta:
$ sum_(n = 1)^(+∞) ((1/5alpha )^((n+1)^2)(n+3)^2)/((n+1)!).(n!)/((1/5alpha )^(n^2)(n+2)^2) $
$ sum_(n = 1)^(+∞) ((1/5alpha )^((n+1)^2)(n+3)^2)/((n+1)). 1/((1/5alpha )^(n^2)(n+2)^2) $
$ sum_(n = 1)^(+∞) ((1/5alpha )^(1+2n)(n+3)^2)/((n+1)(n+2)^2) $
Poi non riesco più ad andare avanti! Qualche suggerimento??
Grazie mille in anticipo!
(Ho imparato a scrivere le formule!!
)
Risposte
e devi semplicemente completare con lo studio del limite infatti per il criterio del rapporto risulterà:
$ lim_(n ->infty) a_(n+1)/a_n $
e mi sembra che tenda a 0 per cui converge.
$ lim_(n ->infty) a_(n+1)/a_n $
e mi sembra che tenda a 0 per cui converge.
Eh ma io devo trovare i valori di alfa per cui la serie converge, se faccio semplicemente il limite non riesco a trovarmeli..
ahhh non avevo capito scusami, bè cambia poco cmq per $ alpha in(0,5) $ converge in quanto l'argomento dell'esponenziale rimane minore di 1per $ alpha in[5,+infty) $ ti diverge perchè l'argomento diventa maggiore di 1 e l'esponenziale ti tende all'infinito.
aggiungo che per valori di alpha negativi non cambia nulla si può fare lo stesso ragionamento, non è una serie di segni alterni dal momento che 2n+1 è dispari per cui per alpha>0 è ciaramente sempre positiva lo stesso vale per alpha<0 sarà sempre negativa.
Quindi l'altra parte della serie si ignora??
Non ė che la ignori...semplicemente si tratta di un limite all'infinito quindi se osservi il termine che va piú velocemente a infinito o a zero è l,esponenziale...per n molto grandi tutti gli altri risultano ininfluenti...non a caso il parametro alpha ti compare solo nell'esponenziale, non ci hai fatto caso ? È chiaro dunque che il tutto si giochi li
? È chiaro dunque che il tutto si giochi li
Ok! Grazie mille!
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