Esercizio convergenza q.o/ uniforme su insiemi misurabili

[puretone]

Ciao!
cercavo chiarimento su questo esercizio base di teoria della misura.
Sia una successione di funzioni misurabili $ f_k$ convergente quasi ovunque a $f$ in $E$,
mostrare che $ E:= uu_k E_k $ con $k in NN$ è misurabile, che per $k>1$ la convergenza è uniforme su ogni $E_k$,
ed infine che $m(E_1)=0$

Per il primo pensavo si potesse pensarla in questo modo: la successione di funzioni misurabili in $E$ converge ad una funzione misurabile, poi l' unione numerabile infinita di sottoinsiemi misurabili è ancora misurabile.
La misurabilità dei singoli $E_k$ penso che sia legata in qualche modo, alla definizione di convergenza, che in quanto tale, implichi necessariamente la misurabilità di $E$. Per cui essendo $m(E)=lim_k m(E_k)$, il primo implica che il secondo ha misura finita.

Per la convergenza uniforme forse si può partire così.
Deifinendo $E_k={x in E\\ |f_k-f|=k}$, notando che per ogni k-esimo insieme, da un certo indice in poi la convergenza è assicurata su ogni suo $x$ .
Ma comunque penso di essere fuori strada.
Se qualcuno può darmi qualche dritta ve ne sarei grato.
Ciao

[Rigel1]

Vedi un po' se ti può essere utile il teorema di Egorov.

[puretone]

Ti ringrazio era esattamente quello che mi mancava
ciao!