Esercizio convergenza puntuale ed uniforme
Studiare la convergenza puntuale ed uniforme di $ fn(x)=|cosx|^n $ in $ [0,pi] $ e nei suoi sottointervalli. Calcolare
$ lim_(n) int_(0)^(pi) fn(x) dx $
io ho provato così: Prima di tutto studio la convergenza puntuale in $ [0,pi] $ e vedo che:
$ lim_(n -> ∞) |cosx|^n={ ( 0 se x in(0,pi) ),( 1 se x=(0) o x =(pi)):} $
quindi fn(x) non potrà convergere uniformemente ad f(x) in quanto questa è discontinua sull'intervallo considerato.
Ora ho preso un generico intervallo $ [a,pi-a] $ con $ 0
$ Sup_(x in [a,pi-a]) ||cosx|^n| $
giusto? solo che a questo punto non so proprio dove mettere le mani..
$ lim_(n) int_(0)^(pi) fn(x) dx $
io ho provato così: Prima di tutto studio la convergenza puntuale in $ [0,pi] $ e vedo che:
$ lim_(n -> ∞) |cosx|^n={ ( 0 se x in(0,pi) ),( 1 se x=(0) o x =(pi)):} $
quindi fn(x) non potrà convergere uniformemente ad f(x) in quanto questa è discontinua sull'intervallo considerato.
Ora ho preso un generico intervallo $ [a,pi-a] $ con $ 0
$ Sup_(x in [a,pi-a]) ||cosx|^n| $
giusto? solo che a questo punto non so proprio dove mettere le mani..
Risposte
Ciao,
per la convergenza uniforme devi studiare il limite del sup.
Ora, avendo escluso i punti in cui il limite è discontinuo (che poi sono anche i punti in cui la successione ha sup = 1), al crescere di n la successione converge a 0 poichè i valori sono tutti più piccoli di 1.
Quindi mi verrebbe da dire che la successione NON converge uniformemente in [0,pi] ma nei suoi sottointervalli, ad esempio (0,pi) essa converge a 0.
Credo che così sia corretto.
per la convergenza uniforme devi studiare il limite del sup.
Ora, avendo escluso i punti in cui il limite è discontinuo (che poi sono anche i punti in cui la successione ha sup = 1), al crescere di n la successione converge a 0 poichè i valori sono tutti più piccoli di 1.
Quindi mi verrebbe da dire che la successione NON converge uniformemente in [0,pi] ma nei suoi sottointervalli, ad esempio (0,pi) essa converge a 0.
Credo che così sia corretto.
E' sì, che non converge uniformemente in $[0,pi]$ c'ero arrivata, poichè la funzione che ottengo dalla convergenza puntuale in tale intervallo è discontinua..ora nei suoi sottointervalli come quello che ho preso io sopra, come faccio a studiare la convergenza puntuale, ovvero il limite del sup?.. poi comunque come calcolo il limite sopra? (sicuramente col teorema del limite sotto il segno d'integrale)
@Maryse: Stai procedendo bene, ora ti tocca calcolare il sup nell'intervallo che hai scelto. Non c'entrano nulla gli integrali. Il sup si può calcolare "ad occhio" oppure meccanicamente usando i metodi differenziali che hai studiato nei corsi precedenti per la ricerca di massimi e minimi.
@morgantar: Dubito che la successione possa convergere uniformemente in $(0, \pi)$. Di solito in questi casi devi togliere un po' di spazio intorno al punto singolare per avere convergenza uniforme.
@morgantar: Dubito che la successione possa convergere uniformemente in $(0, \pi)$. Di solito in questi casi devi togliere un po' di spazio intorno al punto singolare per avere convergenza uniforme.
E' ma è proprio quello che non riesco a fare, non riesco a determinarmi il sup
E' ma è proprio quello che non riesco a fare, non riesco a determinarmi il sup
Ma si che ci riesci, è un esercizio di analisi 1. Studia il segno per togliere il valore assoluto, calcola la derivata, eccetera.
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