Esercizio convergenza puntuale e uniforme successioni funz.
Sto cercando di prepararmi per l esame di analisi 2 di settembre, ma purtroppo sono incappato nelle successioni di funzioni di cui dovrei stabilire convergenza puntuale e uniforme.
Ho letto il regolamento,ed essendo un membro nuovo chiedo di perdonarmi per eventuali gaffes che commetterò.
Propongo un esercizio tipo per il quale chiedo un semplice aiuto di risoluzione visto che il mio libro di testo(marcellini-sbordone) non è chiarissimo a riguardo.
Stabilire la convergenza puntuale è uniforme della seguente successione di funzioni:
$n(sin nx)e^{-nx}$.
Ora per la convergenza puntuale operiamo il limite per $n -> +oo $ della nostra successione.Limite che se scomposto opportunamente dovrebbe dare come risultato 0.Dunque la successione converge puntualmente in $RR $ verso 0.La mia domanda è ora come faccio a stabilire la convergenza uniforme? Ho bisogno di un aiuto.GRAZIE.
Ho letto il regolamento,ed essendo un membro nuovo chiedo di perdonarmi per eventuali gaffes che commetterò.
Propongo un esercizio tipo per il quale chiedo un semplice aiuto di risoluzione visto che il mio libro di testo(marcellini-sbordone) non è chiarissimo a riguardo.
Stabilire la convergenza puntuale è uniforme della seguente successione di funzioni:
$n(sin nx)e^{-nx}$.
Ora per la convergenza puntuale operiamo il limite per $n -> +oo $ della nostra successione.Limite che se scomposto opportunamente dovrebbe dare come risultato 0.Dunque la successione converge puntualmente in $RR $ verso 0.La mia domanda è ora come faccio a stabilire la convergenza uniforme? Ho bisogno di un aiuto.GRAZIE.
Risposte
Se non commetto qualche svista, chiama $a_n = "sup"_(x in RR) | n sin(n x ) e^{-nx} - 0 |$
Si ha che $a_n <= "sup"_(x in RR) | n e^{-nx} |$, quindi devi dimostrare che $\lim_n "sup"_(x in RR) | n e^{-nx} | = 0$.
Si ha che $a_n <= "sup"_(x in RR) | n e^{-nx} |$, quindi devi dimostrare che $\lim_n "sup"_(x in RR) | n e^{-nx} | = 0$.
Per $x<0$ succede qualcosa di spiacevole..
Diciamo $RR^+$.
Diciamo $RR^+$.
potreste cercare di spiegarmelo in maniera + elementare?
"Giuly19":
Per $x<0$ succede qualcosa di spiacevole..
Diciamo $RR^+$.
Ho capito che per la convergenza puntuale bisogna considerare solo gli x>0, altrimenti il limite diventa $+oo $ giusto?
Mi sembra che per $x < 0$ quel limite neppure esista. Infatti il massimo limite è $+oo$ mentre il minimo limite è $0$.
"Seneca":
Mi sembra che per $x < 0$ quel limite neppure esista. Infatti il massimo limite è $+oo$ mentre il minimo limite è $0$.
per x>0 il limite vale 0, mentre per x<0 perchè non esiste? e comunque ancora non ho capito come faccio a determinare la convergenza uniforme...
"Seneca":
Se non commetto qualche svista, chiama $a_n = "sup"_(x in RR) | n sin(n x ) e^{-nx} - 0 |$
Si ha che $a_n <= "sup"_(x in RR) | n e^{-nx} |$, quindi devi dimostrare che $\lim_n "sup"_(x in RR) | n e^{-nx} | = 0$.
Seneca perchè nello studio della convergenza uniforme fai a meno di considerare il seno?
Perchè $|nsin(nx)e^(-nx)| <= n e^(-nx)$, in quanto la funzione seno è limitata e a valori in $[-1,1]$.
Quindi una volta provato che converge uniformemente $n e^(-nx)$, hai provato anche la convergenza uniforme della successione di partenza.
Quindi una volta provato che converge uniformemente $n e^(-nx)$, hai provato anche la convergenza uniforme della successione di partenza.
grazie mille ragazzi...
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