Esercizio - Convergenza integrale improprio
Stabilire se il seguente integrale converge o diverge: $int_0^3 log( 1 + 2 sqrt(x) )/(x(x + 4)) dx$ .
Svolgimento:
Poniamo $f(x) = log( 1 + 2 sqrt(x) )/(x(x + 4))$
La funzione integranda è positiva e inoltre, confrontando gli ordini di infinito di $f$ e $1/x^(1/2)$ per $x -> 0^+$ :
$lim_(x -> 0) x^(1/2) * log( 1 + 2 sqrt(x) )/(x(x + 4)) = lim_(x -> 0) log( 1 + 2 sqrt(x) )/(sqrt(x)) * 1/(x + 4) = 1/2$
Ciò significa che $f(x) * x^(1/2)$ è limitata almeno in un intorno destro dell'origine; vale a dire che $0 <= f(x) x^(1/2) <= M$ da cui $0 <= f(x) <= M x^(-1/2)$
$M x^(-1/2)$ è integrabile in senso generalizzato, $f(x)$ è integrabile in ogni intervallo del tipo $[c , 3)$ $AA c in (0 , 3)$,
quindi lo è anche $f$ per il criterio del confronto.
E' corretto?
Svolgimento:
Poniamo $f(x) = log( 1 + 2 sqrt(x) )/(x(x + 4))$
La funzione integranda è positiva e inoltre, confrontando gli ordini di infinito di $f$ e $1/x^(1/2)$ per $x -> 0^+$ :
$lim_(x -> 0) x^(1/2) * log( 1 + 2 sqrt(x) )/(x(x + 4)) = lim_(x -> 0) log( 1 + 2 sqrt(x) )/(sqrt(x)) * 1/(x + 4) = 1/2$
Ciò significa che $f(x) * x^(1/2)$ è limitata almeno in un intorno destro dell'origine; vale a dire che $0 <= f(x) x^(1/2) <= M$ da cui $0 <= f(x) <= M x^(-1/2)$
$M x^(-1/2)$ è integrabile in senso generalizzato, $f(x)$ è integrabile in ogni intervallo del tipo $[c , 3)$ $AA c in (0 , 3)$,
quindi lo è anche $f$ per il criterio del confronto.
E' corretto?
Risposte
Mi sembra che sia tutto corretto. Un altro modo per dirlo è vedere che, asintoticamente
[tex]$f(x)\sim\frac{2\sqrt{x}}{4x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$[/tex]
e quindi la tua conclusione.
[tex]$f(x)\sim\frac{2\sqrt{x}}{4x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$[/tex]
e quindi la tua conclusione.
Ecco. Il risultato sull'asintoticità l'ho appena dimostrato. 
Grazie Ciampax.
Grazie Ciampax.
Prego.
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