Esercizio convergenza integrale imoroprio

[Lorenzo242]

Salve vorrei sapere come studiare la convergenza del seguente integrale improprio al variare del parametro reale 'a':
integrale tra 1 e +infinito di 1/(x^2 + ax) dx
Grazie mille in anticipo

[pilloeffe]

Ciao Lorenzo24,

Benvenuto sul forum!

Per $a = 0$ si vede subito che converge a $1$.

Per $a \ne 0$ ci si può calcolare l'integrale indefinito, che in questo caso è relativamente semplice:

$\int frac{dx}{x^2 + ax} = \int frac{dx}{(x + a/2)^2 - (a/2)^2} $

Posto $t := x + a/2 \implies dt = dx $, si ha:

$\int frac{dx}{x^2 + ax} = \int frac{dx}{(x + a/2)^2 - (a/2)^2} = \int frac{dt}{t^2 - (a/2)^2} = frac{1}{a} \int (frac{1}{t - a/2} - frac{1}{t + a/2}) dt = $
$ = frac{1}{a} \int frac{dt}{t - a/2} - frac{1}{a} \int frac{dt}{t + a/2} =frac{1}{a} ln(t - a/2) - frac{1}{a} ln(t + a/2) + c =$
$ = frac{1}{a} ln(x) - frac{1}{a} ln(x + a) + c $

Passando all'integrale proposto, si ha:

$\int_{1}^{+infty} frac{dx}{x^2 + ax} = [frac{1}{a} ln(x) - frac{1}{a} ln(x + a)]_{1}^{+\infty} = - frac{1}{a} [ln(1 + a/x)]_{1}^{+\infty} = frac{1}{a} ln(a + 1)$

Per l'esistenza del logaritmo deve essere $a + 1 > 0 \implies a > - 1$.

[Lorenzo242]

Io avevo studiato prima l'integrale per x che va a +infinito rendendo la funzione asintomatica a 1/^2 quindi convrge. Poi poi l'ho studiato per x che va a 1 rendendo la funzione asintotica a 1/x(x-a) quindi non converge per ogni 'a' non so se è giusto il ragionamento

[pilloeffe]

Non ti seguo... Quindi, secondo il tuo ragionamento, per quali valori del parametro reale $a$ l'integrale proposto converge? Tieni presente che in realtà per la funzione integranda non ci sono problemi né in $+\infty$, né in $1$ (fatta eccezione per il caso sfigato in cui $a = - 1$, valore per il quale si vede che l'integrale proposto diverge): in prima approssimazione si può dire che l'integrale proposto senz'altro converge $\AA a \ge 0$.