Esercizio Convergenza Integrale
Salve a tutti, ho un dubbio riguardo la convergenza degli integrali.
Gli esercizi danno una $ f(x) $ e un intervallo, e chiedono se la funzione è integrabile in quell'intervallo.
Inoltre premetto che il nostro prof con "integrabilità" intende sommabilità (e non integrabilità in senso improprio), cioè che il limite deve esistere finito. Adesso il mio dubbio è :
Dobbiamo SEMPRE confrontare la funzione con una test oppure possiamo anche solo limitarci a far vedere il limite dell'integranda esiste finito ?
Ecco un esercizio che ho svolto :
$ f(x) = (arctan(x) + x^2)/(e^x + e^(-x)) $ è integrabile in $ [ 0, +oo [ $ ?
Notiamo che $ f : R -> R $ , quindi il valore $ 0 $ non ci da particolari problemi, in quanto la funzione è continua e quindi integrabile. Allora studiamo solo il comportamento per $ x -> +oo $
Quindi se $ x->+oo $ , la funzione (integranda) ha un comportamento ben definito.
Questo è sufficiente per dire che la funzione è integrabile in $ [ 0, +oo [ $ ? Oppure devo obbligatoriamente fare dei confronti asintotici per confrontarla infine con una serie test ?
Gli esercizi danno una $ f(x) $ e un intervallo, e chiedono se la funzione è integrabile in quell'intervallo.
Inoltre premetto che il nostro prof con "integrabilità" intende sommabilità (e non integrabilità in senso improprio), cioè che il limite deve esistere finito. Adesso il mio dubbio è :
Dobbiamo SEMPRE confrontare la funzione con una test oppure possiamo anche solo limitarci a far vedere il limite dell'integranda esiste finito ?
Ecco un esercizio che ho svolto :
$ f(x) = (arctan(x) + x^2)/(e^x + e^(-x)) $ è integrabile in $ [ 0, +oo [ $ ?
Notiamo che $ f : R -> R $ , quindi il valore $ 0 $ non ci da particolari problemi, in quanto la funzione è continua e quindi integrabile. Allora studiamo solo il comportamento per $ x -> +oo $
$ lim_(x->+oo) = 0 $
Quindi se $ x->+oo $ , la funzione (integranda) ha un comportamento ben definito.
Questo è sufficiente per dire che la funzione è integrabile in $ [ 0, +oo [ $ ? Oppure devo obbligatoriamente fare dei confronti asintotici per confrontarla infine con una serie test ?
Risposte
La funzione che hai portato come esempio è integrabile in $[0,+oo)$ perché
$lim_(x->+oo) f(x)=0 text( di ordine >1)$
cioé per la convergenza all'infinito non basta che il limite tenda a $0$, ma deve farlo con un ordine superiore a $1$.
Esempio:
$int_1^(+oo) 1/x dx$
$=>lim_(x->+oo) 1/x = 0 text ( di ordine 1)$
Come puoi vedere il limite tende a $0$, ma poiché lo fa con un ordine non superiore a $1$ l'integrale diverge.
$lim_(x->+oo) f(x)=0 text( di ordine >1)$
cioé per la convergenza all'infinito non basta che il limite tenda a $0$, ma deve farlo con un ordine superiore a $1$.
Esempio:
$int_1^(+oo) 1/x dx$
$=>lim_(x->+oo) 1/x = 0 text ( di ordine 1)$
Come puoi vedere il limite tende a $0$, ma poiché lo fa con un ordine non superiore a $1$ l'integrale diverge.
Grazie mille 
Ultimo dubbio..A volte il prof ha fatto il confronto con l'integrale :
1) $ int_(0)^(1) 1/(b-x)^alpha $ oppure con $ int_(1)^(+oo) 1/(b-x)^alpha $
2) $ int_(0)^(1) 1/(x-b)^alpha $ oppure con $ int_(1)^(+oo) 1/(x-b)^alpha $
3) $ int_(0)^(1) 1/((b-x)^alpha * ln^beta(x)) $ oppure con $ int_(1)^(+oo) 1/((b-x)^alpha * ln^beta(x)) $
4) $ int_(0)^(1) 1/((x-b)^alpha * ln^beta(x)) $ oppure con $ int_(1)^(+oo) 1/((x-b)^alpha * ln^beta(x)) $
Per favore potresti dirmi per quali $ alpha $ si ha la convergenza in questi casi ?
Ho provato a cercare online ma trovo soltanto quello con $ 1/x^alpha $ oppure $ 1/ (x ln^alpha(x)) $
Ultimo dubbio..A volte il prof ha fatto il confronto con l'integrale :
1) $ int_(0)^(1) 1/(b-x)^alpha $ oppure con $ int_(1)^(+oo) 1/(b-x)^alpha $
2) $ int_(0)^(1) 1/(x-b)^alpha $ oppure con $ int_(1)^(+oo) 1/(x-b)^alpha $
3) $ int_(0)^(1) 1/((b-x)^alpha * ln^beta(x)) $ oppure con $ int_(1)^(+oo) 1/((b-x)^alpha * ln^beta(x)) $
4) $ int_(0)^(1) 1/((x-b)^alpha * ln^beta(x)) $ oppure con $ int_(1)^(+oo) 1/((x-b)^alpha * ln^beta(x)) $
Per favore potresti dirmi per quali $ alpha $ si ha la convergenza in questi casi ?
Ho provato a cercare online ma trovo soltanto quello con $ 1/x^alpha $ oppure $ 1/ (x ln^alpha(x)) $
ti Io ho schematizzzato una serie di ""integrali impropri notevoli" ... non so se può esserti utile:
\begin{align*}
\int_{a}^{1} \frac{1}{\ln^\beta x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\beta<1 \\ \mbox{diverge se }\quad&\beta\ge1
\end{cases},\quad 0
\begin{align*}
\int_{0}^{a} \frac{1}{x^{\alpha}\ln^\beta x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\alpha<1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{converge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta>1 \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha>1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta\le1
\end{cases},\quad 0
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}\ln^\beta x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\alpha>1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{converge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta>1 \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha<1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta\le1
\end{cases},\quad a>1, \alpha,\beta \in \mathbb{R}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{e^{\alpha x} }\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\alpha>0 \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha<0 \end{cases},\quad a>0, \alpha \in \mathbb{R}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{e^{\alpha x} \cdot x^{\beta}\cdot\ln^\gamma x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{se }\quad \alpha>0 \quad \mbox{converge}\quad \forall\beta,\gamma \\
\mbox{se }\quad \alpha<0 \quad \mbox{diverge}\quad \forall\beta,\gamma \\
\mbox{se }\quad \alpha=0 \quad \mbox{l'integrale si riduce al terzo caso caso}
\end{cases},\quad a>1, \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{a}^{1} \frac{1}{\ln^\beta x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\beta<1 \\ \mbox{diverge se }\quad&\beta\ge1
\end{cases},\quad 0
\begin{align*}
\int_{0}^{a} \frac{1}{x^{\alpha}\ln^\beta x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\alpha<1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{converge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta>1 \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha>1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta\le1
\end{cases},\quad 0
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}\ln^\beta x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\alpha>1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{converge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta>1 \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha<1\quad \mbox{e}\quad \forall\beta \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha=1 \quad \mbox{e} \quad \beta\le1
\end{cases},\quad a>1, \alpha,\beta \in \mathbb{R}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{e^{\alpha x} }\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{converge se }\quad &\alpha>0 \\
\mbox{diverge se }\quad &\alpha<0 \end{cases},\quad a>0, \alpha \in \mathbb{R}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{e^{\alpha x} \cdot x^{\beta}\cdot\ln^\gamma x}\, dx\qquad=\begin{cases} \mbox{se }\quad \alpha>0 \quad \mbox{converge}\quad \forall\beta,\gamma \\
\mbox{se }\quad \alpha<0 \quad \mbox{diverge}\quad \forall\beta,\gamma \\
\mbox{se }\quad \alpha=0 \quad \mbox{l'integrale si riduce al terzo caso caso}
\end{cases},\quad a>1, \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}
\end{align*}
O.O Utilissimo!!! Grazie mille !! Adesso me li studio a poco a poco 
grazie ancora. Questione risolta
grazie ancora. Questione risolta
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