Esercizio: convergenza di un integrale brutto e cattivo
$\int_1^\infty\frac{sqrt(x+1)*sinx}{xe^x}$
Per sfizio ho controllato che $\int_1^\infty\frac{senx}{x}$ e $\int_1^\infty\frac{sqrt(x+1)}{e^x}$ presi singolarmente convergono (anche se non vuol dire nulla, vedi $\int_1^\inftyx^2$ e $\int_1^\infty1/x^3$: da soli convergono, mentre $\int_1^\infty1/x$ non converge).
Ma ho una vaga idea che converga, dopo averne tracciato il grafico (e solo il grafico: neanche il calcolatore riesce a calcolarmi tale integrale) su SAGE.
Ecco sono in alto mare
Sono ben accetti dei suggerimenti, se ne avete.
(non vedete anche voi qualcosa di erotico in questa emoticon:
?)
Per sfizio ho controllato che $\int_1^\infty\frac{senx}{x}$ e $\int_1^\infty\frac{sqrt(x+1)}{e^x}$ presi singolarmente convergono (anche se non vuol dire nulla, vedi $\int_1^\inftyx^2$ e $\int_1^\infty1/x^3$: da soli convergono, mentre $\int_1^\infty1/x$ non converge).
Ma ho una vaga idea che converga, dopo averne tracciato il grafico (e solo il grafico: neanche il calcolatore riesce a calcolarmi tale integrale) su SAGE.
Ecco sono in alto mare
Sono ben accetti dei suggerimenti, se ne avete.
(non vedete anche voi qualcosa di erotico in questa emoticon:
?)
Risposte
Scusa, invece di fare conti inutili, perché non applichi il criterio di confronto asintotico con cui ci stai ammorbando (
) nell'altro topic? Metti la funzione integranda in valore assoluto: è chiaramente un infinitesimo per $x\toinfty$. Di quale ordine? Te lo dico io: di ordine bello grosso. In che senso "bello grosso"? Questo dillo tu. P.S.: E lascia stare le emoticon!
"voxzzzisf":
$\int_1^\inftyx^2$ e $\int_1^\infty1/x^3$: da soli convergono, mentre $\int_1^\infty1/x$ non converge
Non è esatto, il primo integrale DIVERGE. Se entrambi convergono (cioè: hanno limite FINITO) di solito si può fare qualcosa.
Ad esempio in questo caso mi aspetto che si possa stimare una parte del prodotto (ad esempio $(sin x)/x$) con una costante ed utilizzare la convergenza dell'altro membro.
Giustissimo Giustissimo!
Il nostro caro criterio di assoluta convergenza ci dice che se converge $\int_1^\infty|\frac{sqrt(x+1)*sinx}{xe^x}|$ allora converge anche:
$\int_1^\infty\frac{sqrt(x+1)*sinx}{xe^x}$.
Ne faccio il limite: $\lim_{x\to\infty}\int_1^\infty|\frac{sqrt(x+1)*sinx}{xe^x}|$ = $\lim_{x\to\infty}\int_1^\infty|\frac{sqrt(x+1)}{e^x}\frac{senx}{x}|$.
Adesso:
$\lim_{x\to\infty}|\frac{sqrt(x+1)}{e^x}| = 0$, poiche e^x tende a infinito molto piu rapidamente del numeratore.
$\lim_{x\to\infty}|\frac{senx}{x}| =0$, perche' abbiamo una situazione numero/infinito, detta in modo volgare.
Quindi $\lim_{x\to\infty}|\frac{sqrt(x+1)}{e^x}\frac{senx}{x}| = 0$.
E' sufficiente cio' a dimostrare la convergenza?
anche il lim x->inf di $\frac{1}{x}$ tende a 0, ma l'integrale non e' convergente...
Sara' che sono stanchissimo ma qualcosa mi sfugge.
ahah forse dovrei uscire un po'.
Il nostro caro criterio di assoluta convergenza ci dice che se converge $\int_1^\infty|\frac{sqrt(x+1)*sinx}{xe^x}|$ allora converge anche:
$\int_1^\infty\frac{sqrt(x+1)*sinx}{xe^x}$.
Ne faccio il limite: $\lim_{x\to\infty}\int_1^\infty|\frac{sqrt(x+1)*sinx}{xe^x}|$ = $\lim_{x\to\infty}\int_1^\infty|\frac{sqrt(x+1)}{e^x}\frac{senx}{x}|$.
Adesso:
$\lim_{x\to\infty}|\frac{sqrt(x+1)}{e^x}| = 0$, poiche e^x tende a infinito molto piu rapidamente del numeratore.
$\lim_{x\to\infty}|\frac{senx}{x}| =0$, perche' abbiamo una situazione numero/infinito, detta in modo volgare.
Quindi $\lim_{x\to\infty}|\frac{sqrt(x+1)}{e^x}\frac{senx}{x}| = 0$.
E' sufficiente cio' a dimostrare la convergenza?
anche il lim x->inf di $\frac{1}{x}$ tende a 0, ma l'integrale non e' convergente...
Sara' che sono stanchissimo ma qualcosa mi sfugge.
"dissonance":
P.S.: E lascia stare le emoticon!
ahah forse dovrei uscire un po'.
Guarda, te lo dico "al volo": è questione di ordine di infinitesimo. Quella funzione integranda è infinitesima per $x\to+infty$ di ordine esponenziale e dunque l'integrale è convergente. Perché? Lo capirai studiando per bene la proposizione dell'altro topic. Ti può servire questo link:
https://www.matematicamente.it/forum/met ... 36889.html
https://www.matematicamente.it/forum/met ... 36889.html
Grazie
Non vorrei sembrare banale a dire una cosa del genere, ma basta anche solo fare un ragionamento più euristico! Innanzitutto hai che
$|\int_1^{+\infty}\frac{\sqrt{x+1}\cdot \sin x}{x e^x}\ dx|\leq\int_1^{+\infty}\frac{\sqrt{x+1}}{x e^x}\ dx=\int_1^{M}\frac{\sqrt{x+1}}{x e^x}\ dx+\int_M^{+\infty}\frac{\sqrt{x+1}}{x e^x}\ dx$
con $M$ costante grande. Adesso il primo integrale è finito, mentre nel secondo, per $M$ molto prossimo ad infinito, hai il comportamento asintotico seguente
$\int_M^{+\infty}\frac{\sqrt{x+1}}{x e^x}\ dx\sim\int_M^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x} e^x}\ dx.$
Con il cambiamento di variabile $\sqrt{x}=t$ tale integrale diviene
$\int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x} e^x}\ dx=\int_1^{+\infty}e^{-t^2}\ dt=\sqrt{\pi}(1-erf(M))$
dove
$erf(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{-t^2}\ dt$
è la funzione errore che risulta finita. Dunque anche il secondo integrale è finito (tende a zero per $M\rightarrow +\infty$ ) e quindi l'integrale originale converge.
$|\int_1^{+\infty}\frac{\sqrt{x+1}\cdot \sin x}{x e^x}\ dx|\leq\int_1^{+\infty}\frac{\sqrt{x+1}}{x e^x}\ dx=\int_1^{M}\frac{\sqrt{x+1}}{x e^x}\ dx+\int_M^{+\infty}\frac{\sqrt{x+1}}{x e^x}\ dx$
con $M$ costante grande. Adesso il primo integrale è finito, mentre nel secondo, per $M$ molto prossimo ad infinito, hai il comportamento asintotico seguente
$\int_M^{+\infty}\frac{\sqrt{x+1}}{x e^x}\ dx\sim\int_M^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x} e^x}\ dx.$
Con il cambiamento di variabile $\sqrt{x}=t$ tale integrale diviene
$\int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x} e^x}\ dx=\int_1^{+\infty}e^{-t^2}\ dt=\sqrt{\pi}(1-erf(M))$
dove
$erf(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{-t^2}\ dt$
è la funzione errore che risulta finita. Dunque anche il secondo integrale è finito (tende a zero per $M\rightarrow +\infty$ ) e quindi l'integrale originale converge.
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