Esercizio Convergenza

[Blizz1]

Nel seguente esercizio:



Mi viene:

$lim_{n \rightarrow +\infty} x^{2nx}=$

$1$ se $x=1$; $0$ se $0
$lim_{x \rightarrow 0} x^{2nx}= 1$

$lim_{x \rightarrow 1} x^{2nx}= 1$

Quindi mi verrebbe da dire che la risposta corretta è la $a$. Confermate?
Potete inoltre darmi una delucidazione in modo intuitivo e in parole semplici della differenza tra convergenza puntuale e convergenza uniforme, e di come faccio a capire se in uno specifico intervallo una funzione converge uniformemente o meno?

Vi ringrazio molto.

[dan952]

Convergenza puntuale
Siano ${f_n} \in C^0([a,b],RR)$, diremo che $f_n$ converge puntualmente ad una funzione $f(x)$ se
$$f(x)=\lim_{n\rightarrow +\infty} f_n(x)$$
$\forall x \in E$[nota]dove $E$ è l'insieme di convergenza[/nota]

Convergenza uniforme
Diremo che $f_n$ converge uniformemente a $f$ se
$$\lim_{n\rightarrow +\infty} d_{\infty}(f_n,f)=0$$[nota]ricorda che $d_{\infty}(f_n,f)=Sup_{x\inE}|f_n(x)-f(x)|$[/nota]

[dan952]

La risposta corretta è la a, infatti ${f_n}$ convergono puntualmente a $f ={(1\ se \ x=1),(0\ se\ 0

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[Blizz1]

Se calcolo il massimo lo trovo in $x=\frac[1}{e}$. Pertanto $f_n(\frac{1}[e})=e^{-\frac{2n]{e}}$. Ora se $n \rightarrow +\infty$ ho che $f_{n\rightarrow +\infty}(\frac{1}[e})=0$.

Visto che:
$lim_{n \rightarrow +\infty} x^{2nx}=$
$1$ se $x=1$; $0$ se $0 e:
$lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{2nx}= 1$

$lim_{x \rightarrow 1} x^{2nx}= 1$


Direi piuttosto che la risposta corretta sia la $d$ perché nei vari punti $x$ del dominio $lim_{n \rightarrow +\infty} $sup$|f_n(x)-f(x)|=0$. Dove appunto $f(1)=1$ mentre $f(x)=0$ se $ 0

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[Blizz1]

Scusate revoco il risultato dato nel mio ultimo messaggio. La risposta corretta è la $a$ proprio per quanto detto nel mio primo messaggio e come dan95 ha confermato. Nell'ultimo messaggio ho scritto $lim_{n \rightarrow +\infty} Sup |f_n(x)-f(x)|=0$ nei punti interni del domanio, ma in realtà dovevo scrivere: $lim_{n \rightarrow +\infty} Sup |f_n(x)-f(x)|=1$, quindi non converge uniformemente e la risposta è la $a$.