[ESERCIZIO] Continuità e derivabilità al variare di due parametri

[Magma1]

Buonasera, ho svolto il seguente esercizio ma non sono sicuro sia giusto:

Determinare per quali valori di $alpha, beta$ la funzione è continua e derivabile, al variare di $alpha, beta in mathbb (R)$

$ f(x)={ ( 4alphax-sqrt(1-x); x<-3 ),( beta /(7+2x) ; x>=-3 ):} $

Allora, affinché la funzione sia continua devo succedere che $ lim_(x->-3^-)f(x)=lim_(x->-3^+)f(x) $

però, dato che la funzione è continua a destra, si ha che $lim_(x->-3^+)f(x)=f(-3) $

e quindi devo ottenere che $ lim_(x->-3^-)f(x)=f(-3)$; quindi

$ lim_(x->-3^-) 4alphax-sqrt(1-x)=-12alpha-2$ ; $f(-3)=-beta$ quindi $12alpha-beta=-2$


$f$ è continua in tutto il dominio escluso $-3$ e calcolo la derivata in tale dominio:

$f(x)={ (4alpha- (-1)/(2sqrt(1-x)); x<-3 ),((-2beta)/((7+2x)^2) ; x>=-3 ):}$

e affinché $f$ sia derivabile in $-3$ devo avere che

$lim_(x->-3^-)f'(x)= lim_(x->-3^+)f'(x)$

$hArr lim_(x->-3^-)4alpha- (-1)/(2sqrt(1-x))=lim_(x->-3^+)(-2beta)/((7+2x)^2)$

$lim_(x->-3^-)(4alpha- (-1)/(2sqrt(1-x)))=4alpha+1/4=16alpha+1$


$lim_(x->-3^+)(-2beta)/((7+2x)^2)=-1-2beta$

Quindi $f$ è derivabile in $-3 hArr 16alpha+1=-2beta hArr $ 12alpha-beta=-2 $16alpha+2beta=-2$

In conclusione per trovare $alpha, beta$ devo porre il seguente sistema

$ { ( 12alpha-beta=-2 ),( 16alpha+2beta=-2 ):} $ quindi $alpha=-3/20, beta=1/5$.

È giusto?

EDIT: ho provato a sostituire i valori di $alpha, beta$ nella condizione di continuità ma non mi viene una identità...

[donald_zeka]

$ f(-3)=-beta $

$f(-3)=beta$

[Magma1]

Oppss... è vero, grazie.

Ho notato che nel fare copia incolla ho sbagliato anche a scrivere lo svolgimento dell'esercizio; riporto qui la versione "corretta" (almeno spero):

Affinché la funzione sia continua devo ottenere che $ lim_(x->-3^-) 4alphax-sqrt(1-x)=f(-3) $

$hArr -12alpha-2=beta hArr 12alpha+beta=-2$

$ AA x in D_f-{-3}, f'(x)={ (4alpha + (1)/(2sqrt(1-x)); x<-3 ),((-2beta)/((7+2x)^2) ; x>=-3 ):} $

e affinché $f$ sia derivabile in $-3$ devo avere che:

$ lim_(x->-3^-)f'(x)= lim_(x->-3^+)f'(x) $

$ hArr lim_(x->-3^-)(4alpha- (-1)/(2sqrt(1-x)))=4alpha+1/4=16alpha+1$ ; $lim_(x->-3^+)(-2beta)/((7+2x)^2)=-2beta $

Quindi f è derivabile in $-3$ $hArr 16alpha+1=-2beta hArr 16alpha+2beta=-1$

Pertanto per trovare $alpha, beta$ imposto il sistema:

$ { ( 12alpha+beta=-2 ),( 16alpha+2beta=-1 ):} hArr { ( 12alpha+beta=-2 ),( 0+2/3 beta=5/3 ):} hArr alpha=-3/8, beta=-5/2$

Ora mi sembrerebbe giusto, vero?



EDIT: Ah... ho un altro dubbio piuttosto imbarazzante

io ho posto $ lim_(x->-3^-)f'(x)= lim_(x->-3^+)f'(x) $

$ lim_(x->-3^-)(4alpha- (-1)/(2sqrt(1-x)))=4alpha+1/4=lim_(x->-3^+)(-2beta)/((7+2x)^2)=-2beta $

quindi avrei avuto $4alpha+1/4=-2beta hArr 16alpha +1=-8 beta$, invece io li ho considerati staccati, cioè $4alpha+1/4=16alpha+1$ e dopo ho posto l'uguaglianza con il limite destro ossia $16alpha+1=-2beta$

[Magma1]

"Magma":
EDIT: Ah... ho un altro dubbio piuttosto imbarazzante

io ho posto $ lim_(x->-3^-)f'(x)= lim_(x->-3^+)f'(x) $

$ lim_(x->-3^-)(4alpha- (-1)/(2sqrt(1-x)))=4alpha+1/4=lim_(x->-3^+)(-2beta)/((7+2x)^2)=-2beta $

quindi avrei dovuto avere $4alpha+1/4=-2beta hArr 16alpha +1=-8 beta$, invece io li ho considerati staccati, cioè ho alcolato il limite sinistro $4alpha+1/4=16alpha+1$ e solo dopo ho posto l'uguaglianza con il limite destro $-2beta$: ossia $16alpha+1=-2beta$

Uppino, scusate ma sono lacune dovute al classico e devo cercare di colmarle