Esercizio con teorema di Stokes
Salve a tutti! Avrei un esercizio a cui non vengo a capo... Mi dareste una mano? Vi riporto il testo:
"Si usi il teorema di Stokes per calcolare il valore assoluto del lavoro compiuto dal campo $g(x,y,z)^T = (-z,x,y)^T$ su una particella di massa unitaria che percorre la curva $ \gamma$, intersezione del piano $z=y$ con il paraboloide di equazione $z=x^2 + y^2$ . "
Bene so che il lavoro è dato dalla circuitazione del campo g sulla componente tangenziale di $\gamma$ e per Stokes è uguale al fusso del rotore del campo sulla superficie racchiusa da $\gamma$.. Quindi calcolo il rotore e ho $rot$ $g (x,y,z) = (0,-1,1)$, invece per trovare una parametrizzazione della curva metto a sistema le due condizioni e trovo $\gamma (t) = (\sqrt(t-t^2),t,t)$
Ma a questo punto come continuo??
Grazie per l'aiuto!
"Si usi il teorema di Stokes per calcolare il valore assoluto del lavoro compiuto dal campo $g(x,y,z)^T = (-z,x,y)^T$ su una particella di massa unitaria che percorre la curva $ \gamma$, intersezione del piano $z=y$ con il paraboloide di equazione $z=x^2 + y^2$ . "
Bene so che il lavoro è dato dalla circuitazione del campo g sulla componente tangenziale di $\gamma$ e per Stokes è uguale al fusso del rotore del campo sulla superficie racchiusa da $\gamma$.. Quindi calcolo il rotore e ho $rot$ $g (x,y,z) = (0,-1,1)$, invece per trovare una parametrizzazione della curva metto a sistema le due condizioni e trovo $\gamma (t) = (\sqrt(t-t^2),t,t)$
Ma a questo punto come continuo??
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Provo a darti una mano, nella speranza di non dire castronerie 
Intanto, mettendo a sistema $z=y$ e $z=x^2+y^2$ ottieni $x^2+y^2=y$.
Puoi osservare che $x^2+y^2=y \rightarrow x^2+(y-1/2)^2=1/4$.
Pertanto l'equazione della tua superficie in forma cartesiana sarà:
Il fatto che tu abbia cercato l'equazione della curva, non ti aiuta per applicare il teorema di Stokes, che invece richiede una superficie. Nota che $\mathcalS$ può essere parametrizzata come segue:
Ora si tratta solamente di applicare la definizione di flusso di $rot(\bbg)$ attraverso $\mathcal(S)$.
Intanto, mettendo a sistema $z=y$ e $z=x^2+y^2$ ottieni $x^2+y^2=y$.
Puoi osservare che $x^2+y^2=y \rightarrow x^2+(y-1/2)^2=1/4$.
Pertanto l'equazione della tua superficie in forma cartesiana sarà:
$\mathcalS:\{(z=y), (x^2+(y-1/2)^2=1/4):}$.
Il fatto che tu abbia cercato l'equazione della curva, non ti aiuta per applicare il teorema di Stokes, che invece richiede una superficie. Nota che $\mathcalS$ può essere parametrizzata come segue:
$\mathcal(S):\{(x=\rhocos\theta), (y=1/2+\rhosin\theta), (z=y):}, \rho \in [0;1/2]$.
Ora si tratta solamente di applicare la definizione di flusso di $rot(\bbg)$ attraverso $\mathcal(S)$.
Perfetto! Ti ringrazio molto 
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