Esercizio con Taylor in 2 variabili
Salve, mi trovo di fronte a questo esercizio e alle seguenti soluzioni possibili:
Siano $finC^2(RR^2)$, $g:RR^2->RR$, $g(x,y)=f(x,3y^2)$. Allora
a. $g(x,y)=f(0,0)+D_1f(0,0)x+D_11f(0,0)x^2/2+3D_22f(0,0)y^2+o(x^2+y^2) (x,y)->(0,0)$
b. $g(x,y)=f(0,0)+D_1f(0,0)x+D_11f(0,0)x^2/2+3D_2f(0,0)y^2+o(x^2+y^2) (x,y)->(0,0)$
c. $g(x,y)=f(0,0)+D_1f(0,0)x+D_11f(0,0)x^2/2+3D_2f(0,0)y+o(x^2+y^2) (x,y)->(0,0)$
d. nessuna delle precedenti
Io applico la formula (sempre direttamente in 0,0):
$g(x,y)=g(0,0)+D_1g(0,0)x+D_2g(0,0)y+1/2[D_11g(0,0)x^2+2D_12g(0,0)xy+D_22g(0,0)y^2]+o(x^2+y^2)$
Con:
$D_1g(x,3y^2)=D_1f(x,3y^2)$ quindi $D_1g(0,0)=D_1f(0,0)$
$D_2g(x,3y^2)=6yD_2f(x,3y^2)$ quindi $D_1g(0,0)=0$
$D_11g(x,3y^2)=D_11f(x,3y^2)$ quindi $D_1g(0,0)=D_11f(0,0)$
$D_12g(x,3y^2)=6yD_12f(x,3y^2)$ quindi $D_1g(0,0)=0$
$D_22g(x,3y^2)=36y^2D_22f(x,3y^2)$ quindi $D_1g(0,0)=0$
Da cui:
$g(x,y)=f(0,0)+D_1f(0,0)x+D_11f(0,0)x^2/2+o(x^2+y^2) (x,y)->(0,0)$
Quindi io metterei la "d". Pareri ? Il procedimento è giusto ?
Siano $finC^2(RR^2)$, $g:RR^2->RR$, $g(x,y)=f(x,3y^2)$. Allora
a. $g(x,y)=f(0,0)+D_1f(0,0)x+D_11f(0,0)x^2/2+3D_22f(0,0)y^2+o(x^2+y^2) (x,y)->(0,0)$
b. $g(x,y)=f(0,0)+D_1f(0,0)x+D_11f(0,0)x^2/2+3D_2f(0,0)y^2+o(x^2+y^2) (x,y)->(0,0)$
c. $g(x,y)=f(0,0)+D_1f(0,0)x+D_11f(0,0)x^2/2+3D_2f(0,0)y+o(x^2+y^2) (x,y)->(0,0)$
d. nessuna delle precedenti
Io applico la formula (sempre direttamente in 0,0):
$g(x,y)=g(0,0)+D_1g(0,0)x+D_2g(0,0)y+1/2[D_11g(0,0)x^2+2D_12g(0,0)xy+D_22g(0,0)y^2]+o(x^2+y^2)$
Con:
$D_1g(x,3y^2)=D_1f(x,3y^2)$ quindi $D_1g(0,0)=D_1f(0,0)$
$D_2g(x,3y^2)=6yD_2f(x,3y^2)$ quindi $D_1g(0,0)=0$
$D_11g(x,3y^2)=D_11f(x,3y^2)$ quindi $D_1g(0,0)=D_11f(0,0)$
$D_12g(x,3y^2)=6yD_12f(x,3y^2)$ quindi $D_1g(0,0)=0$
$D_22g(x,3y^2)=36y^2D_22f(x,3y^2)$ quindi $D_1g(0,0)=0$
Da cui:
$g(x,y)=f(0,0)+D_1f(0,0)x+D_11f(0,0)x^2/2+o(x^2+y^2) (x,y)->(0,0)$
Quindi io metterei la "d". Pareri ? Il procedimento è giusto ?
Risposte
Non sono assolutamente d'accordo, e il tutto deriva da un uso improprio che fai dei simboli di derivazione. Ecco le derivate corrette: per prima cosa
$$g(x,y)=g(0,0)+g_x(0,0) x+g_y(0,0) y+\frac{1}{2}\left[g_{xx}(0,0) x^2+2g_{xy}(0,0) xy+g_{yy}(0,0)\right]$$
(metto i pedici per le derivazioni). Allora
$g_x(x,y)=f_1(x,3y^2)\cdot (x)_x+f_2\cdot (3y^2)_x=f_1(x,3y^2)\ \Rightarrow\ g_x(0,0)=f_1(0,0)$
$g_y(x,y)=f_1(x,3y^2)\cdot (x)_y+f_2\cdot (3y^2)_y=6y f_2(x,3y^2)\ \Rightarrow\ g_y(0,0)=0$
$g_{x x}(x,y)=[f_1(x,3y^2)]_x=f_{11}(x,3y^2)\cdot(x)_x+f_{12}(x,3y^2)\cdot (3y^2)_x=f_{11}(x,3y^2)\ \Rightarrow\ g_{x x}(0,0)=f_{11}(0,0)$
$g_{xy}(x,y)=[f_1(x,3y^2)]_y=f_{11}(x,3y^2)\cdot(x)_y+f_{12}(x,3y^2)\cdot (3y^2)_y=6yf_{12}(x,3y^2)\ \Rightarrow\ g_{xy}(0,0)=0$
$g_{yy}(x,y)=[6yf_2(x,3y^2)]_y=6f_2(x,3y^2)+6y[f_{21}(x,3y^2)\cdot(x)_y+f_{22}(x,3y^2)\cdot (3y^2)_y]=6f_2(x,3y^2)+36y^2 f_{22}(x,3y^2)\ \Rightarrow\ g_{yy}(0,0)=6f_{2}(0,0)$
per cui direi che la risposta corretta è la $b)$
$$g(x,y)=g(0,0)+g_x(0,0) x+g_y(0,0) y+\frac{1}{2}\left[g_{xx}(0,0) x^2+2g_{xy}(0,0) xy+g_{yy}(0,0)\right]$$
(metto i pedici per le derivazioni). Allora
$g_x(x,y)=f_1(x,3y^2)\cdot (x)_x+f_2\cdot (3y^2)_x=f_1(x,3y^2)\ \Rightarrow\ g_x(0,0)=f_1(0,0)$
$g_y(x,y)=f_1(x,3y^2)\cdot (x)_y+f_2\cdot (3y^2)_y=6y f_2(x,3y^2)\ \Rightarrow\ g_y(0,0)=0$
$g_{x x}(x,y)=[f_1(x,3y^2)]_x=f_{11}(x,3y^2)\cdot(x)_x+f_{12}(x,3y^2)\cdot (3y^2)_x=f_{11}(x,3y^2)\ \Rightarrow\ g_{x x}(0,0)=f_{11}(0,0)$
$g_{xy}(x,y)=[f_1(x,3y^2)]_y=f_{11}(x,3y^2)\cdot(x)_y+f_{12}(x,3y^2)\cdot (3y^2)_y=6yf_{12}(x,3y^2)\ \Rightarrow\ g_{xy}(0,0)=0$
$g_{yy}(x,y)=[6yf_2(x,3y^2)]_y=6f_2(x,3y^2)+6y[f_{21}(x,3y^2)\cdot(x)_y+f_{22}(x,3y^2)\cdot (3y^2)_y]=6f_2(x,3y^2)+36y^2 f_{22}(x,3y^2)\ \Rightarrow\ g_{yy}(0,0)=6f_{2}(0,0)$
per cui direi che la risposta corretta è la $b)$