Esercizio con Taylor
Supponiamo di avere $f(x)=\sin x-\log (1+x)+\frac{x^2}{2}$ volevo sapere se ho ragione a pensare che con $x\to 0$ l'ordine dell'infinitesimo è $\alpha=3$ in quanto se sostituisco i seguenti sviluppi:
$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$
$\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
ottengo
$f(x)=-\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}=x^2-\frac{x^3}{2}$ ossia $f(x)=\sin x-\log (1+x)+\frac{x^2}{2}$ [tex]\sim x^2-\frac{x^3}{2}[/tex]
$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$
$\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
ottengo
$f(x)=-\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}=x^2-\frac{x^3}{2}$ ossia $f(x)=\sin x-\log (1+x)+\frac{x^2}{2}$ [tex]\sim x^2-\frac{x^3}{2}[/tex]
Risposte
ma cosa intendi per ordine di infinitesimo?
vuoi dire che data $f(x)$, $\alpha$ è il suo ordine di infinitesimo se $f(x)=o(x^\alpha)$ ?
perchè in quel caso non è certo $3$.
allora cosa intendi?
vuoi dire che data $f(x)$, $\alpha$ è il suo ordine di infinitesimo se $f(x)=o(x^\alpha)$ ?
perchè in quel caso non è certo $3$.
allora cosa intendi?
Si, ho posto male la domanda. Intendevo dire con quale infinitesimo posso sostituire $f(x)$. Però ora che guardo meglio cosa ho scritto sarebbe andato bene sostituirla anche con $x^2$ o sbaglio ?
allora tu hai trovato questa uguaglianza:
$f(x)=sinx - log(1+x)+(x^2)/2=x^2-(x^3)/2+o(x^3)$
tu hai smesso di scrivere gli o -piccoli, non dovevi.
quella è proprio un'identità, ciò vuol dire che tu puoi proprio sostituire $f(x)$ con quella funzione trovata ( certo, $o(x^3)$ non sappiamo cos'è, se no sarebbe troppo bello).
quindi se vuoi sostituirla con un infinitesimo, ovvero con qualcosa che vada a $0$ per $x to 0$, con cosa la sostituirai?
$f(x)=sinx - log(1+x)+(x^2)/2=x^2-(x^3)/2+o(x^3)$
tu hai smesso di scrivere gli o -piccoli, non dovevi.
quella è proprio un'identità, ciò vuol dire che tu puoi proprio sostituire $f(x)$ con quella funzione trovata ( certo, $o(x^3)$ non sappiamo cos'è, se no sarebbe troppo bello).
quindi se vuoi sostituirla con un infinitesimo, ovvero con qualcosa che vada a $0$ per $x to 0$, con cosa la sostituirai?
Un attimino: io ho tolto gli o-piccoli perchè credevo che scrivendo gli sviluppi di $\sin x$ e di $\log (1+x)$ fino ad esempio al termine di ordine 3, all'interno di $f(x)$ ed in particolar modo nella differenza $\sin x-\log (1+x)$ i due $o(x^3)$ si potessero elidere essendo uguali e discordi
assolutamente no. è un errore concettuale abbastanza grave, se così fosse potresti trovare che quasi ogni funzione è un polinomio, mentre non è così. devi rivedere la teoria. dovresti aver capito che $o(g)$ non è una funzione, è una classe di funzioni, e quindi ovviamente non ha segno, non ha un inverso additivo.
Ho capito! Essendo il valore di $o(x^\alpha)$ sconosciuto non posso pensare di trattarlo come un'espressione ben precisa. Però potrei scrivere che $\lim \frac{f(x)}{x^2}=1$ e quindi $f(x)\sim x^2+o(x^2)$ anzichè arrivare a scrivere anche il termine di 3° grado ?
va molto meglio. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo