Esercizio con prodotto scalare di funzioni
Sia $h in C[0,1]$ e $int_{0}^{1} h(x) Phi'(x) dx = 0$ $AA Phi in C^2[0,1], \ Phi(0)=Phi(1)=0$.
Dimostra che $h$ è costante, senza assumere a priori che $h$ sia differenziabile.
Se si assume $h$ differenziabile è abbastanza banale, altrimenti non mi pare lo sia.
Il testo suggerisce di considerare $Phi(x) = int_{0}^{x} (h(t) -) dt $, dove $$ è il valore medio di $h$.
Tuttavia non mi convince una cosa: non è detto che questa $Phi in C^2[0,1]$.
Dimostra che $h$ è costante, senza assumere a priori che $h$ sia differenziabile.
Se si assume $h$ differenziabile è abbastanza banale, altrimenti non mi pare lo sia.
Il testo suggerisce di considerare $Phi(x) = int_{0}^{x} (h(t) -
Tuttavia non mi convince una cosa: non è detto che questa $Phi in C^2[0,1]$.
Risposte
Infatti quella \(\Phi\) è, in generale, di classe \(C^1\).
C'è da dire che questo lemma, di norma, è enunciato con funzioni test di classe \(C^1\). Per questioni di densità, comunque, usare \(C^1\), \(C^2\) o \(C^{\infty}\) è la stessa cosa.
C'è da dire che questo lemma, di norma, è enunciato con funzioni test di classe \(C^1\). Per questioni di densità, comunque, usare \(C^1\), \(C^2\) o \(C^{\infty}\) è la stessa cosa.
Sì, mi rendo conto che è una questione banale per il fatto della densità. Però, dovendo supporre massima ignoranza, io quello che noto è questo:
Se al posto di $Phi$ uso quella del suggerimento e la vado a mettere nel prodotto scalare ottengo che:
$int_{0}^{1} h^2 (x) dx =^2$
$ = ^2$
E questo sappiamo che implica $h(x) =$ (si ottiene dal calcolo di $int_{0}^{1} (h(x) - )^2 dx$ ).
Manca un tassello, che in pratica quello che ho fatto non è legittimo, perché l'ipotesi era con $Phi in C^2[0,1]$.
Quindi preliminarmente dovrei dimostrare che se quel prodotto scalare di partenza si annulla $AA Phi in C^2[0,1]$ allora si annulla anche $AA Phi in C^1[0,1]$.
E' corretto?
Se al posto di $Phi$ uso quella del suggerimento e la vado a mettere nel prodotto scalare ottengo che:
$int_{0}^{1} h^2 (x) dx =
$
E questo sappiamo che implica $h(x) =
Manca un tassello, che in pratica quello che ho fatto non è legittimo, perché l'ipotesi era con $Phi in C^2[0,1]$.
Quindi preliminarmente dovrei dimostrare che se quel prodotto scalare di partenza si annulla $AA Phi in C^2[0,1]$ allora si annulla anche $AA Phi in C^1[0,1]$.
E' corretto?
Sì.
Perfetto, grazie.
Per quanto intuitivo, sto trovando parecchie difficoltà a dimostrare che $C^2$ è denso in $C^1$ secondo una qualche norma (pensavo di cominciare da quella del sup). Mi servirebbe una traccia da seguire oppure più direttamente un posto dove guardare, tenendo conto che non conosco nessun risultato riguardante la densità di insiemi di funzioni in altri insiemi di funzioni.
Premetto che non è il modo più rapido per affrontare l'esercizio; comunque, per usare funzioni \(C^2\) (o \(C^{\infty}\), puoi procedere così.
Data la tua \(\Phi\in C^1\), approssimi \(\Phi'\), nella norma uniforme, con una funzione di classe \(C^{\infty}\) (puoi ad esempio prendere un polinomio, grazie al teorema di Stone-Weierstrass): in altri termini, fissato \(\epsilon > 0\), esiste un polinomio \(P\) tale che \(\|\Phi' - P\|_{\infty} < \epsilon\).
Ricordando che \(\int_0^1 \Phi' = 0\), il polinomio può essere scelto in modo da avere anch'esso integrale nullo.
Definisci ora \(\Psi(x) := \int_0^x P(t) dt\): per quanto appena detto, avrai che \(\Psi(0) = \Psi(1) = 0\); inoltre \(\Psi\in C^{\infty}\).
A questo punto penso che tu sia in grado di concludere
Data la tua \(\Phi\in C^1\), approssimi \(\Phi'\), nella norma uniforme, con una funzione di classe \(C^{\infty}\) (puoi ad esempio prendere un polinomio, grazie al teorema di Stone-Weierstrass): in altri termini, fissato \(\epsilon > 0\), esiste un polinomio \(P\) tale che \(\|\Phi' - P\|_{\infty} < \epsilon\).
Ricordando che \(\int_0^1 \Phi' = 0\), il polinomio può essere scelto in modo da avere anch'esso integrale nullo.
Definisci ora \(\Psi(x) := \int_0^x P(t) dt\): per quanto appena detto, avrai che \(\Psi(0) = \Psi(1) = 0\); inoltre \(\Psi\in C^{\infty}\).
A questo punto penso che tu sia in grado di concludere
Ottimo! Non conoscevo neanche il teorema di Stone Weierstrass, però l'ho visto su wikipedia.
Vorrei giustificare un po' l'affermazione per cui posso scegliere il polinomio in modo che l'integrale sia nullo,
visto che nella dimostrazione del teorema di Stone Weierstrass sceglie una particolare successione di polinomi, non è che mi lasci grande libertà di scelta.
Tuttavia, siccome $| | Phi' - P | | _{infty} < (epsilon)/2 $, allora $ |int_{0}^{1} P(x) dx | <= | int_{0}^{1} Phi'(x) dx | + | int_{0}^{1} (epsilon)/2 dx | = (epsilon)/2$. Quindi mi basta aggiungere o sottrarre al polinomio una quantità $c<=(epsilon)/2$ per fare si che il suo integrale si annulli e avere che $| | Phi' - P | | _{infty} < epsilon $.
Prima di concludere faccio le seguenti osservazioni per accertarmi di avere capito bene tutto:
1. Già il teorema di Stone-Weierstrass da solo dimostra che $C^{infty}[0,1]$ è denso in $C^{0}[0,1]$ secondo la norma uniforme.
2. $C^{infty}[0,1]$ è denso in $C^{k}[0,1]$ perché se un insieme è denso in un altro, è denso anche in ogni suo sottoinsieme.
3. Per il ragionamento che ho fatto sull'integrale direi che la densità in norma uniforme implica la densità in norma $L^1$ sui compatti.
Per quanto riguarda la conclusione dell'esercizio:
La $Psi$ che hai costruito approssima la $Phi'$, inoltre $\Psi in C^2[0,1]$, $Psi(0)=Psi(1)=0$, per cui annulla il prodotto scalare per ipotesi. Se al posto di $Psi$ nell'integrale metto $Phi$ la differenza è al più $epsilon$, con $epsilon$ arbitrario, quindi anche l'integrale con la $Phi$ è nullo.
Vorrei giustificare un po' l'affermazione per cui posso scegliere il polinomio in modo che l'integrale sia nullo,
visto che nella dimostrazione del teorema di Stone Weierstrass sceglie una particolare successione di polinomi, non è che mi lasci grande libertà di scelta.
Tuttavia, siccome $| | Phi' - P | | _{infty} < (epsilon)/2 $, allora $ |int_{0}^{1} P(x) dx | <= | int_{0}^{1} Phi'(x) dx | + | int_{0}^{1} (epsilon)/2 dx | = (epsilon)/2$. Quindi mi basta aggiungere o sottrarre al polinomio una quantità $c<=(epsilon)/2$ per fare si che il suo integrale si annulli e avere che $| | Phi' - P | | _{infty} < epsilon $.
Prima di concludere faccio le seguenti osservazioni per accertarmi di avere capito bene tutto:
1. Già il teorema di Stone-Weierstrass da solo dimostra che $C^{infty}[0,1]$ è denso in $C^{0}[0,1]$ secondo la norma uniforme.
2. $C^{infty}[0,1]$ è denso in $C^{k}[0,1]$ perché se un insieme è denso in un altro, è denso anche in ogni suo sottoinsieme.
3. Per il ragionamento che ho fatto sull'integrale direi che la densità in norma uniforme implica la densità in norma $L^1$ sui compatti.
Per quanto riguarda la conclusione dell'esercizio:
La $Psi$ che hai costruito approssima la $Phi'$, inoltre $\Psi in C^2[0,1]$, $Psi(0)=Psi(1)=0$, per cui annulla il prodotto scalare per ipotesi. Se al posto di $Psi$ nell'integrale metto $Phi$ la differenza è al più $epsilon$, con $epsilon$ arbitrario, quindi anche l'integrale con la $Phi$ è nullo.
Per il polinomio va bene, basta correggere con una (piccola) costante.
Riguardo alla densità, il problema sta nelle norme usate. Per fare questo esercizio stai approssimando la derivata della funzione, non la funzione stessa; tenendo conto delle condizioni al bordo, stai facendo vedere che \(C^{\infty}([0,1])\) è denso in \(C^{1}([0,1])\) nella norma
\[
\|u\|_{C^1} := \|u\|_{C^0} + \|u'\|_{C^0}.
\]
Riguardo alla densità, il problema sta nelle norme usate. Per fare questo esercizio stai approssimando la derivata della funzione, non la funzione stessa; tenendo conto delle condizioni al bordo, stai facendo vedere che \(C^{\infty}([0,1])\) è denso in \(C^{1}([0,1])\) nella norma
\[
\|u\|_{C^1} := \|u\|_{C^0} + \|u'\|_{C^0}.
\]
Non mi è chiarissimo dove sbaglio.
L'affermazione 1 mi sembra una conseguenza del teorema di Stone Weierstrass.
Le affermazioni 1, 2 e 3 sono deduzioni che faccio, ma che non hanno a che vedere direttamente col contenuto dell'esercizio. Sono sbagliate?
Entrando nel contesto dell'esercizio:
se indico con $M^k$ l'insieme delle funzioni $C^k[0,1]$ con valori nulli agli estremi, sto mostrando che $M^2[0,1]$ (o anche $M^{infty}[0,1]$) è denso in $M^1[0,1]$, poiché $Phi' in M^1[0,1]$.
L'affermazione 1 mi sembra una conseguenza del teorema di Stone Weierstrass.
Le affermazioni 1, 2 e 3 sono deduzioni che faccio, ma che non hanno a che vedere direttamente col contenuto dell'esercizio. Sono sbagliate?
Entrando nel contesto dell'esercizio:
se indico con $M^k$ l'insieme delle funzioni $C^k[0,1]$ con valori nulli agli estremi, sto mostrando che $M^2[0,1]$ (o anche $M^{infty}[0,1]$) è denso in $M^1[0,1]$, poiché $Phi' in M^1[0,1]$.
@robbstark: Non voglio entrare troppo nel dettaglio, dato che avete risolto... Ma mi chiedo se l'apice \(2\) non sia un errore di stampa; insomma, non è che nel testo dovesse essere scritto \(\Phi \in C^1\)?
E' un dubbio che ho avuto anche io. Probabilmente lo capirò guardando l'esercizio successivo, che richiama il precedente.
Comunque alla fine è stato utile approfondire.
Comunque alla fine è stato utile approfondire.
"robbstark":
Non mi è chiarissimo dove sbaglio.
L'affermazione 1 mi sembra una conseguenza del teorema di Stone Weierstrass.
Le affermazioni 1, 2 e 3 sono deduzioni che faccio, ma che non hanno a che vedere direttamente col contenuto dell'esercizio. Sono sbagliate?
Entrando nel contesto dell'esercizio:
se indico con $M^k$ l'insieme delle funzioni $C^k[0,1]$ con valori nulli agli estremi, sto mostrando che $M^2[0,1]$ (o anche $M^{infty}[0,1]$) è denso in $M^1[0,1]$, poiché $Phi' in M^1[0,1]$.
Non ho detto che hai scritto cose sbagliate. Ti stavo solo dicendo che, di base, Stone-Weierstrass ti dice che \(C^{\infty}([0,1])\) è denso in \(C^{0}([0,1])\) (e dunque anche negli altri \(C^k\)) nella norma uniforme.
La costruzione fatta ti permette di dire che \(C^{\infty}([0,1])\) è denso in \(C^{1}([0,1])\) nella norma di \(C^1\).
@gugo: penso anche io che nell'esercizio compaia \(C^2\) al posto di \(C^1\) per un mero errore di battitura.
Quel che non mi è chiarissimo è cosa sia la norma
Quanto al testo, non che sia importantissimo stabilire se era un errore o no, ma pare che non lo fosse, perché il testo originale dice $Phi in M_2$, dove $M_2$ è definita nel testo come $M_2 = Phi in C^2[0,1], Phi(0)=Phi(1)=0}$, mentre $M_1 = Phi in C^2[0,1], Phi(0)=0$.
Solo in occasione dell'esercizio successivo introduce $N_1$ ed $N_2$, analogamente ma con $C^1$ al posto di $C^2$.
Comunque è lo Stakgold: Green's Functions and Boundary Value Problems (Third edition)
"Rigel":
\[
\|u\|_{C^1} := \|u\|_{C^0} + \|u'\|_{C^0}.
\]
Quanto al testo, non che sia importantissimo stabilire se era un errore o no, ma pare che non lo fosse, perché il testo originale dice $Phi in M_2$, dove $M_2$ è definita nel testo come $M_2 = Phi in C^2[0,1], Phi(0)=Phi(1)=0}$, mentre $M_1 = Phi in C^2[0,1], Phi(0)=0$.
Solo in occasione dell'esercizio successivo introduce $N_1$ ed $N_2$, analogamente ma con $C^1$ al posto di $C^2$.
Comunque è lo Stakgold: Green's Functions and Boundary Value Problems (Third edition)
Prendendo \( \Phi(x)=x^n-x\) si ottiene
\( \int_0^1h(x)x^{n-1}dx=\frac{1}{n}\int_0^1h(x)dx\)
Se \(P(x) \) è un polinomio si ottiene facilmente:
\( \int_0^1P(x)h(x)dx=\int_0^1P(x)dx\int_0^1h(x)dx\)
Prendendo una successione di polinomi \(P_n(x) \) uniformemente convergente a \( h(x) \) otteniamo:
\( \int_0^1P_n(x)h(x)dx=\int_0^1P_n(x)dx\int_0^1h(x)dx\) da cui passando al limite:
\( \int_0^1 h(x)^2dx=(\int_0^1h(x)dx)^2\)
e quindi \( h(x) \) è costante.
\( \int_0^1h(x)x^{n-1}dx=\frac{1}{n}\int_0^1h(x)dx\)
Se \(P(x) \) è un polinomio si ottiene facilmente:
\( \int_0^1P(x)h(x)dx=\int_0^1P(x)dx\int_0^1h(x)dx\)
Prendendo una successione di polinomi \(P_n(x) \) uniformemente convergente a \( h(x) \) otteniamo:
\( \int_0^1P_n(x)h(x)dx=\int_0^1P_n(x)dx\int_0^1h(x)dx\) da cui passando al limite:
\( \int_0^1 h(x)^2dx=(\int_0^1h(x)dx)^2\)
e quindi \( h(x) \) è costante.
Mi sembra ok anche questo. Ovviamente il fatto di potere prendere una successione di polinomi uniformemente convergente ad $h(x)$ è garantito dal teorema di Stone-Weierstrass.
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