Esercizio con principio di induzione
Salve a tutti, vi espongo un'esercizio e i miei relativi dubbi:
"Usando il principio di induzione dimostrare che, dati n numeri positivi $ x_1, . . . , x_n $, $ n >= 2 $, tali che $ x_1 * x_2 * . . . x_n = 1 $ si ha $ x_1 + x_2 + ... + x_n >= n $."
Ho provato a svolgere l'esercizio come segue, verificando le 2 "proprietà" del principio di induzione:
(Considerando $ p(n) : = x_1 + x_2 + ... + x_n >= n $ con $ x_1 * x_2 * . . . x_n = 1 $ e $ n_0 = 2 $)
$i)$ $ p(2) $ : $ x_1 + x_2 >= 2 $ con $ x_1 * x_2 = 1 $, ovvero $ x_1 = 1 / x_2 $ ;
dunque si ha $ 1/x_2 + x_2 >= 2 $ ovvero $ x_2^2 - 2x_2 +1 >= 0 $ ( dato che gli $ x_i $ sono per ipotesi positivi ). Quindi, dato che questa disequazione è vera ho concluso che $ p(2) $ è vera
E qua, presupponendo di aver fatto tutto correttamente (correggetemi se ho sbagliato!) iniziano a venirmi dei dubbi; ora devo verificare:
$ii)$ $AA n >= 2$, $ p(n) => p(n+1) $
La mia confusione sta nel fatto che io $ p(n) $ non riesco a verificarla, e dunque non capisco se faccio bene a supporla vera per poi dimostrare che $ p(n+1) $ sia vera tramite l'implicazione ... inoltre l'esercizio sta nel verificare che $ p(n) $ sia vera $ AA n >= 2 $, e dunque come faccio a "verificare che $ p(n) $ sia vera se mi serve che $ p(n) $ sia vera"? Forse la risposta la so già, ovvero che il principio di induzione funziona così
... non ci sono altre spiegazioni giusto?
Dunque ho supposto $ p(n) $ vera e considerando $ x_1 + x_2 + ... + x_n+x_(n+1) $ ho affermato che questa quantità fosse necessariamente $ >= $ di $ n + x_(n+1) $; e dato che $ x_1 * x_2 * . . . x_n* x_(n+1) = 1 $ si ha $ x_(n+1) = 1/(x_1 * x_2 * . . . x_n) = 1 $ e ho felicemente concluso che $ x_1 + x_2 + ... + x_n+x_(n+1) >= n+1 $ con $ x_1 * x_2 * . . . x_n* x_(n+1) = 1 $ è verificata e ciò significa che da $ p(n) $ vera (che non ho in realtà verificato) sono riuscito a dire che $ p(n+1) $ è vera.
Quindi dato che $ i) $ e $ ii) $ sono verificate si ha $ p(n) $ vera $ AA n >= 2 $
Ho sbagliato qualcosa? C'è un'altro modo per svolgere questo esercizio? Grazie in anticipo!
"Usando il principio di induzione dimostrare che, dati n numeri positivi $ x_1, . . . , x_n $, $ n >= 2 $, tali che $ x_1 * x_2 * . . . x_n = 1 $ si ha $ x_1 + x_2 + ... + x_n >= n $."
Ho provato a svolgere l'esercizio come segue, verificando le 2 "proprietà" del principio di induzione:
(Considerando $ p(n) : = x_1 + x_2 + ... + x_n >= n $ con $ x_1 * x_2 * . . . x_n = 1 $ e $ n_0 = 2 $)
$i)$ $ p(2) $ : $ x_1 + x_2 >= 2 $ con $ x_1 * x_2 = 1 $, ovvero $ x_1 = 1 / x_2 $ ;
dunque si ha $ 1/x_2 + x_2 >= 2 $ ovvero $ x_2^2 - 2x_2 +1 >= 0 $ ( dato che gli $ x_i $ sono per ipotesi positivi ). Quindi, dato che questa disequazione è vera ho concluso che $ p(2) $ è vera
E qua, presupponendo di aver fatto tutto correttamente (correggetemi se ho sbagliato!) iniziano a venirmi dei dubbi; ora devo verificare:
$ii)$ $AA n >= 2$, $ p(n) => p(n+1) $
La mia confusione sta nel fatto che io $ p(n) $ non riesco a verificarla, e dunque non capisco se faccio bene a supporla vera per poi dimostrare che $ p(n+1) $ sia vera tramite l'implicazione ... inoltre l'esercizio sta nel verificare che $ p(n) $ sia vera $ AA n >= 2 $, e dunque come faccio a "verificare che $ p(n) $ sia vera se mi serve che $ p(n) $ sia vera"? Forse la risposta la so già, ovvero che il principio di induzione funziona così
... non ci sono altre spiegazioni giusto?Dunque ho supposto $ p(n) $ vera e considerando $ x_1 + x_2 + ... + x_n+x_(n+1) $ ho affermato che questa quantità fosse necessariamente $ >= $ di $ n + x_(n+1) $; e dato che $ x_1 * x_2 * . . . x_n* x_(n+1) = 1 $ si ha $ x_(n+1) = 1/(x_1 * x_2 * . . . x_n) = 1 $ e ho felicemente concluso che $ x_1 + x_2 + ... + x_n+x_(n+1) >= n+1 $ con $ x_1 * x_2 * . . . x_n* x_(n+1) = 1 $ è verificata e ciò significa che da $ p(n) $ vera (che non ho in realtà verificato) sono riuscito a dire che $ p(n+1) $ è vera.
Quindi dato che $ i) $ e $ ii) $ sono verificate si ha $ p(n) $ vera $ AA n >= 2 $
Ho sbagliato qualcosa? C'è un'altro modo per svolgere questo esercizio? Grazie in anticipo!
Risposte
Il succo del principio di induzione è proprio quello, cioé basta che sia soddisfatta \(P(1)\) e che sia vera l'implicazione \(P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1)\) (il che non implica la verità dell'antecedente e della conseguente) per avere vera \(P(n)\) per ogni indice \(n\).
Nel passo induttivo, si assume come ipotesi che valga la \(P(n)\) e si fa vedere che da tale ipotesi segue la \(P(n+1)\): ed infatti è proprio così che si dimostra vera l'implicazione \(P(n)\Rightarrow P(n+1)\).
Quindi, per tornare al tuo caso, il passo induttivo ti chiede di dimostrare che, assumendo come ipotesi la proposizione \(P(n)\):
\[
\text{ vale l'implicazione:}\quad \left. \begin{split} x_1,\ldots ,x_n &>0 \\ x_1\cdots x_n&=1 \end{split}\right\}\ \Rightarrow \ x_1+\cdots+x_n\geq n\; ,
\]
da essa segue la \(P(n+1)\), i.e.:
\[
\text{vale l'implicazione:}\quad \left. \begin{split} x_1,\ldots ,x_{n+1} &>0 \\ x_1\cdots x_{n+1} &=1 \end{split}\right\}\ \Rightarrow \ x_1+\cdots+x_{n+1}\geq n+1\; .
\]
Nel passo induttivo, si assume come ipotesi che valga la \(P(n)\) e si fa vedere che da tale ipotesi segue la \(P(n+1)\): ed infatti è proprio così che si dimostra vera l'implicazione \(P(n)\Rightarrow P(n+1)\).
Quindi, per tornare al tuo caso, il passo induttivo ti chiede di dimostrare che, assumendo come ipotesi la proposizione \(P(n)\):
\[
\text{ vale l'implicazione:}\quad \left. \begin{split} x_1,\ldots ,x_n &>0 \\ x_1\cdots x_n&=1 \end{split}\right\}\ \Rightarrow \ x_1+\cdots+x_n\geq n\; ,
\]
da essa segue la \(P(n+1)\), i.e.:
\[
\text{vale l'implicazione:}\quad \left. \begin{split} x_1,\ldots ,x_{n+1} &>0 \\ x_1\cdots x_{n+1} &=1 \end{split}\right\}\ \Rightarrow \ x_1+\cdots+x_{n+1}\geq n+1\; .
\]
Grazie mille!
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