Esercizio con numeri complessi
Stavo svolgendo un esercizio, per fortuna guidato, ma ho un dubbio
Sostanzalmente si deve risolvere l'equazione: $z^6-2z^3+2=0$
Il professore ha svolto come segue:
Pongo il paramtero: $w=z^3$
Quindi:
$w^2-2w+2=0 -> w=1+-sqrt{1-2}=1+-i $
non mi torna molto quel passaggio finale: mettere un "i" dato che ho radice di -1, anche perché in realtà il mio w è già un numero complesso.
In sostanza dovrei avere, stando alla mia logica:
$w^2-2w+2$ essendo w della forma x+iy
$(x+iy)^2-2(x+iy)+2=0 -> x^2-y^2+2xyi-2x-2yi+2$ e da questa dovrebbe uscirmi un sistema a due eqazioni -sempre secondo me- in cui trovo la parte reale e la parte immaginaria (che sono due reali nelle due componenti)
Avrei quindi le equazioni a sistema:
-$x^2-y^2-2x+2=0$
-$2xy-2y=0$
Solo risolvendo questo dovrei trovare w, e poi continuerei con l'esercizio
Non capisco dove sbaglio o il perché il metodo del prof. funzioni.
Grazie.
Sostanzalmente si deve risolvere l'equazione: $z^6-2z^3+2=0$
Il professore ha svolto come segue:
Pongo il paramtero: $w=z^3$
Quindi:
$w^2-2w+2=0 -> w=1+-sqrt{1-2}=1+-i $
non mi torna molto quel passaggio finale: mettere un "i" dato che ho radice di -1, anche perché in realtà il mio w è già un numero complesso.
In sostanza dovrei avere, stando alla mia logica:
$w^2-2w+2$ essendo w della forma x+iy
$(x+iy)^2-2(x+iy)+2=0 -> x^2-y^2+2xyi-2x-2yi+2$ e da questa dovrebbe uscirmi un sistema a due eqazioni -sempre secondo me- in cui trovo la parte reale e la parte immaginaria (che sono due reali nelle due componenti)
Avrei quindi le equazioni a sistema:
-$x^2-y^2-2x+2=0$
-$2xy-2y=0$
Solo risolvendo questo dovrei trovare w, e poi continuerei con l'esercizio
Non capisco dove sbaglio o il perché il metodo del prof. funzioni.
Grazie.
Risposte
è scritta correttamente l'equazione di partenza? 
"Magma":
è scritta correttamente l'equazione di partenza?
Stavo aggiustando, scusa.
Ho editato, sono nuovo con questo sistema di formule sul sito
"staultz":
Quindi:
$w^2-2w+2=0 -> w=1+-sqrt{1-2}=1+-i $
non mi torna molto quel passaggio e soprattutto: mettere un "i" dato che ho radice di -1,
Per definizione di numero immaginario $i:=sqrt(-1)$, quindi la sostituzione è più che valida.
"staultz":
anche perché in realtà il mio w è già un numero complesso.
Qui non riesco a capire.
"staultz":
In sostanza dovrei avere, stando alla mia logica:
$w^2-2w+2$ essendo w della forma x+iy
$(x+iy)^2-2(x+iy)+2=0 -> x^2-y^2+2xyi-2x-2yi+2$ e da questa dovrebbe uscirmi un sistema a due eqazioni -sempre secondo me- in cui trovo la parte reale e la parte immaginaria (che sono due reali nelle due componenti)
Avrei quindi le equazioni a sistema:
-$x^2-y^2-2x+2=0$
-$2xy-2y=0$
Solo risolvendo questo dovrei trovare $w$, e poi continuerei con l'esercizio
Non capisco dove sbaglio o il perché il metodo del prof. funzioni.
Grazie.
Entrambi i metodi sono validi, però il tuo richiede più calcoli e determinare la soluzione di un sistema non lineare, che non è sempre di facile risoluzione.
"Magma":
[quote="staultz"]Quindi:
$w^2-2w+2=0 -> w=1+-sqrt{1-2}=1+-i $
non mi torna molto quel passaggio e soprattutto: mettere un "i" dato che ho radice di -1,
Per definizione di numero immaginario $i:=sqrt(-1)$, quindi la sostituzione è più che valida.
"staultz":
anche perché in realtà il mio w è già un numero complesso.
Qui non riesco a capire.
[/quote]Intendevo dire con "w è già un complesso" che w è già della forma (x(reale)+i(reale)), andando a sostituire il parametro w e svolgendo i calcoli come il prof. in realtà mi comporto come se mi trovassi a "fare i conti" con un w reale e non un complesso quale è e poi quando mi compare la radice di -1 dico "ok questo è i ed è la componende dell'immaginario Im.z" ma perché??, non riesco in sostanza a cogliere l'essenza logica del perché funzioni. Mi rendo condo cammini ma non trovo l'impianto logico del perché vada avanti il tutto.
Mi semrba in sostanza mi sfuggano le fila della matassa.
I numeri reali sono sottoinsiemi dei numeri complessi, prendi la coppia ${(x+iy) : y=0, AA x in RR}$: nel piano di Gauss ottieni l'asse delle ascisse.
Inoltre tieni presente che $w=1+-i$ non è la soluzione finale dell'esercizio; occorre risolvere la radice complessa
Inoltre tieni presente che $w=1+-i$ non è la soluzione finale dell'esercizio; occorre risolvere la radice complessa
$z=root(3)(w)^mathbb(C)=root(3)(1+-i)^mathbb(C)$
Certo certo, che debba andare avanti son d'accordo; forse il mio dubbio nasce più che altro dalla formula risolutiva generale delle eqazioni di secondo grado dove non capisco perché il Delta minore di zero mi dia proprio la componente (che come dicevamo è un reale) in Argand Gauss sull'asse immaginario. Non mi è stato spiegato il perché funzioni così.
Ci stavo facendo caso ora addentrandomi nel dubbio, forse origina da lì. Il fatto è che sia a lezione che sul libro di analisi 1 si tratta in maniera sommaria (non so se è perché non sia argomento principe di analisi 1 e forse lo vedrò più avanti e per ora mi basta accontentarmi che funzioni così).
Ci stavo facendo caso ora addentrandomi nel dubbio, forse origina da lì. Il fatto è che sia a lezione che sul libro di analisi 1 si tratta in maniera sommaria (non so se è perché non sia argomento principe di analisi 1 e forse lo vedrò più avanti e per ora mi basta accontentarmi che funzioni così).
Ciao staultz,
Sì, la posizione del tuo professore è corretta. Successivamente ha usato la formula ridotta per la risoluzione delle equazioni di secondo grado, ottenendo così $w_{1,2} = 1 \pm i $. Chiaramente la faccenda non è finita qui, perché occorre trovare le 6 soluzioni $z$. Trasformerei in forma esponenziale e poi trigonometrica, da cui poi mi ricaverei le 6 soluzioni $z_{1,2,3,4,5,6} $:
$w_1 = 1 + i = sqrt{2}e^{i \pi/4} = sqrt{2}[cos(pi/4) + i sin(pi/4)] \implies z_{1,2,3} $
$w_2 = 1 - i = sqrt{2}e^{- i frac{\pi}{4}} = sqrt{2}[cos(frac{7 pi}{4}) + i sin(frac{7 pi}{4})] \implies z_{4,5,6} $
ricordando che
$root[3]w = root[6]2[cos(frac{\theta + 2k\pi}{3}) + i sin(frac{\theta + 2k\pi}{3})] $
$k = 0, 1, 2 $.
Sì, la posizione del tuo professore è corretta. Successivamente ha usato la formula ridotta per la risoluzione delle equazioni di secondo grado, ottenendo così $w_{1,2} = 1 \pm i $. Chiaramente la faccenda non è finita qui, perché occorre trovare le 6 soluzioni $z$. Trasformerei in forma esponenziale e poi trigonometrica, da cui poi mi ricaverei le 6 soluzioni $z_{1,2,3,4,5,6} $:
$w_1 = 1 + i = sqrt{2}e^{i \pi/4} = sqrt{2}[cos(pi/4) + i sin(pi/4)] \implies z_{1,2,3} $
$w_2 = 1 - i = sqrt{2}e^{- i frac{\pi}{4}} = sqrt{2}[cos(frac{7 pi}{4}) + i sin(frac{7 pi}{4})] \implies z_{4,5,6} $
ricordando che
$root[3]w = root[6]2[cos(frac{\theta + 2k\pi}{3}) + i sin(frac{\theta + 2k\pi}{3})] $
$k = 0, 1, 2 $.
"staultz":
[...] non capisco perché il Delta minore di zero mi dia proprio la componente [...] sull'asse immaginario. Non mi è stato spiegato il perché funzioni così.
Il fatto che il $Delta$ dell'equazione
$ w^2-2w+2=0 $
sia negativo, implica solo che la funzione è sempre positiva e che non ammette zeri nel campo reale; pertanto il $Delta$ non rappresenta la componente immaginaria della soluzione di partenza.
"Magma":
[quote="staultz"][...] non capisco perché il Delta minore di zero mi dia proprio la componente [...] sull'asse immaginario. Non mi è stato spiegato il perché funzioni così.
Il fatto che il $Delta$ dell'equazione
$ w^2-2w+2=0 $
sia negativo, implica solo che la funzione è sempre positiva e che non ammette zeri nel campo reale; pertanto il $Delta$ non rappresenta la componente immaginaria della soluzione di partenza.[/quote]
Grazie ancora.
Qualcosa non mi torna allora, perché in questo caso rappresenta +/-i, è proprio qui che mi nasce il problema ma non capisco come risolverlo..
Un altro metodo furbo potrebbe essere il seguente:
$z^6 - 2z^3 + 2 = 0 \implies z^6 - 2z^3 + 1 + 1 = 0 \implies z^6 - 2z^3 + 1 = - 1 \implies (z^3 - 1)^2 = - 1 \implies $
$ \implies z^3 - 1 = \pm i \implies z^3 = 1 \pm i $
Poi si prosegue come già scritto nel mio post precedente.
$z^6 - 2z^3 + 2 = 0 \implies z^6 - 2z^3 + 1 + 1 = 0 \implies z^6 - 2z^3 + 1 = - 1 \implies (z^3 - 1)^2 = - 1 \implies $
$ \implies z^3 - 1 = \pm i \implies z^3 = 1 \pm i $
Poi si prosegue come già scritto nel mio post precedente.
"staultz":
Grazie ancora.
Qualcosa non mi torna allora, perché in questo caso rappresenta $+-i$, è proprio qui che mi nasce il problema ma non capisco come risolverlo..
Dove lo rappresenta?
"Magma":
[quote="staultz"]
Grazie ancora.
Qualcosa non mi torna allora, perché in questo caso rappresenta $+-i$, è proprio qui che mi nasce il problema ma non capisco come risolverlo..
Dove lo rappresenta?
[/quote]Intendo dire che l'uguaglianza w=1+-i mi dice che w è un complesso del tipo x=1 e y=+-1, quindi ha componente -1 e +1 sull'asse complesso.
Forse però il mio problema nasce nel come visualizzo i complessi su argand gauss, nel senso che mi fa specie che lavorando con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado a un certo punto mi trovi proprio il vettore (0,1).
Continua ad esercitarti con la ricerca della radici; se stai affrontando per la prima volta Analisi, è troppo presto per cercare risposta ad ogni domanda. Piano piano la tua mente si illuminerà d'immenso! 
"Magma":
Continua ad esercitarti con la ricerca della radici; se stai affrontando per la prima volta Analisi, è troppo presto per cercare risposta ad ogni domanda. Piano piano la tua mente si illuminerà d'immenso!
Si spera
Come al solito ho già 3000 dubbi e cose che non mi tornano dopo 3 settimane (nemmeno)!
In sostanza le tratto come algebra spicciola per ora XD
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