Esercizio con Matrice Jacobiana...
Buonasera, qualcuno saprebbe fare il 3 esercizio?
http://www.mat.unimi.it/users/vignati/A ... is-web.pdf
Io so solo che la matrice Jacobiana della f. composta è uguale ai prodotti delle matrici Jacobiane.
Cioè, $ J(G@ F(a))=J(G(F(a)))*J(F(a)) $ quindi tutto ciò che riesco a fare è mettere (0,0,5) dentro F(x,y,z) e trovare il p.to da mettere dentro il jacobiano di G.
Che detto in altri termini, tutto ciò che riesco a fare è "niente".
Qualcuno può aiutarmi? Graziemille!
http://www.mat.unimi.it/users/vignati/A ... is-web.pdf
Io so solo che la matrice Jacobiana della f. composta è uguale ai prodotti delle matrici Jacobiane.
Cioè, $ J(G@ F(a))=J(G(F(a)))*J(F(a)) $ quindi tutto ciò che riesco a fare è mettere (0,0,5) dentro F(x,y,z) e trovare il p.to da mettere dentro il jacobiano di G.
Che detto in altri termini, tutto ciò che riesco a fare è "niente".
Qualcuno può aiutarmi? Graziemille!
Risposte
Beh, come hai detto giustamente tu:
\[\mathbf{J}_\mathbf{g \circ f}(\mathbf{x}) = \mathbf{J}_\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{x})) \ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}) \]
Tu vuoi trovarti:
\[ \mathbf{J}_\mathbf{g}(\mathbf{y})\]
dove \(\mathbf{y} = (0,0,5)^T\).
Supponiamo \(\mathbf{f}\) sia invertibile in un intorno di \(\mathbf{x}\)[nota]In realtà lo devi verificare[/nota]. Possiamo porre \(\mathbf{x} = \mathbf{f}^{-1}(\mathbf{y})\). La derivata di \(\mathbf{f}\), essendo invertibile nell'intorno, sarà non singolare. Quindi possiamo invertire la formula i cui sopra:
\[\mathbf{J}_\mathbf{g}(\mathbf{y}) = \mathbf{J}_\mathbf{g \circ f}(\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{y})) \ [\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{y}))]^{-1}\]
Nel tuo caso hai come dato \(\mathbf{J}_\mathbf{g \circ f}(0,0,2)\), devi verificare quindi che \(\mathbf{f}(0,0,2) = (0,0,5)\). Fatto questo sei a posto, calcoli la jacobiana di \(\mathbf{f}\) in \((0,0,2)\) la inverti e moltiplicandola per la matrice data ottieni il risultato
_______
In realtà, se serve solo la derivata parziale come richiesto, potresti forse ragionare per componenti in maniera più agile. Io però preferisco i metodi carro armato
\[\mathbf{J}_\mathbf{g \circ f}(\mathbf{x}) = \mathbf{J}_\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{x})) \ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}) \]
Tu vuoi trovarti:
\[ \mathbf{J}_\mathbf{g}(\mathbf{y})\]
dove \(\mathbf{y} = (0,0,5)^T\).
Supponiamo \(\mathbf{f}\) sia invertibile in un intorno di \(\mathbf{x}\)[nota]In realtà lo devi verificare[/nota]. Possiamo porre \(\mathbf{x} = \mathbf{f}^{-1}(\mathbf{y})\). La derivata di \(\mathbf{f}\), essendo invertibile nell'intorno, sarà non singolare. Quindi possiamo invertire la formula i cui sopra:
\[\mathbf{J}_\mathbf{g}(\mathbf{y}) = \mathbf{J}_\mathbf{g \circ f}(\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{y})) \ [\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{y}))]^{-1}\]
Nel tuo caso hai come dato \(\mathbf{J}_\mathbf{g \circ f}(0,0,2)\), devi verificare quindi che \(\mathbf{f}(0,0,2) = (0,0,5)\). Fatto questo sei a posto, calcoli la jacobiana di \(\mathbf{f}\) in \((0,0,2)\) la inverti e moltiplicandola per la matrice data ottieni il risultato
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In realtà, se serve solo la derivata parziale come richiesto, potresti forse ragionare per componenti in maniera più agile. Io però preferisco i metodi carro armato
Ciao Emar e grazie.
Allora ho provato a fare come dici tu, ti risparmio i calcoli e mi viene che la Jacobiana di f in (0,0,2) è:
$ ( ( 1 , 4 , 0 ),( 0 , -2 , 0 ),( 1 , 0 , 4 ) ) $
la cui inversa è $ 1/4( ( 4 , 8 , 0 ),( 0 , -2 , 0 ),( -1 , -2 , 1 ) ) $ .
Il prodotto della matrice data per questa dà:
$ ( ( -1 , -2 , -8 ),( 1 , 6 , -4 ) ) $
Dopo aver verificato (l'avevo già fatto
!) che f(0,0,2) dia (0,0,5) concludo che il valore richiesto $ {partialG_1}/{partialv}(0,0,5) $ sia -2.
In realtà però una cosa del genere era venuta in mente anche a me, ma avevo subito lasciato perdere prevedendo le ore che avrei perso a invertire la matrice.
Saresti allora così gentile da chiarire quel "avresti potuto farlo per componenti"? Perchè credo che sia proprio che avrei dovuto fare.
Grazie!
Allora ho provato a fare come dici tu, ti risparmio i calcoli e mi viene che la Jacobiana di f in (0,0,2) è:
$ ( ( 1 , 4 , 0 ),( 0 , -2 , 0 ),( 1 , 0 , 4 ) ) $
la cui inversa è $ 1/4( ( 4 , 8 , 0 ),( 0 , -2 , 0 ),( -1 , -2 , 1 ) ) $ .
Il prodotto della matrice data per questa dà:
$ ( ( -1 , -2 , -8 ),( 1 , 6 , -4 ) ) $
Dopo aver verificato (l'avevo già fatto
!) che f(0,0,2) dia (0,0,5) concludo che il valore richiesto $ {partialG_1}/{partialv}(0,0,5) $ sia -2.In realtà però una cosa del genere era venuta in mente anche a me, ma avevo subito lasciato perdere prevedendo le ore che avrei perso a invertire la matrice.
Saresti allora così gentile da chiarire quel "avresti potuto farlo per componenti"? Perchè credo che sia proprio che avrei dovuto fare.
Grazie!
Scusami avevo un esame.
Per componenti non è il mio forte, mi incasino con sommatorie e indici. Però possiamo, a posteriori, ragionare così: a noi serve la componente \(ij\) della matrice \(J_g\), che sarà il prodotto scalare tra la riga \(i\)-esima della matrice \(J_{g \circ f}\) e la colonna \(j\)-esima della matrice \(J_f^{-1}\). Quindi non ci servono tutte le matrici ma solo quei due pezzi.
Ora, la riga \(i\)-esima della matrice \(J_{g \circ f}\) ce l'abbiamo, non ci resta che ricavarci la colonna con Cramer, che sarà \(\frac{1}{\det{J_f}} \mathbf{v}\) dove \(\mathbf{v}\) sarà qualche schifezza di complemento algebrico
Meglio di così non credo si riesca a fare...
"pollo93":
Saresti allora così gentile da chiarire quel "avresti potuto farlo per componenti"? Perchè credo che sia proprio che avrei dovuto fare.
Per componenti non è il mio forte, mi incasino con sommatorie e indici. Però possiamo, a posteriori, ragionare così: a noi serve la componente \(ij\) della matrice \(J_g\), che sarà il prodotto scalare tra la riga \(i\)-esima della matrice \(J_{g \circ f}\) e la colonna \(j\)-esima della matrice \(J_f^{-1}\). Quindi non ci servono tutte le matrici ma solo quei due pezzi.
Ora, la riga \(i\)-esima della matrice \(J_{g \circ f}\) ce l'abbiamo, non ci resta che ricavarci la colonna con Cramer, che sarà \(\frac{1}{\det{J_f}} \mathbf{v}\) dove \(\mathbf{v}\) sarà qualche schifezza di complemento algebrico
Meglio di così non credo si riesca a fare...
...mmm capito! In tal caso devo solo diventare più veloce con le matrici. Grazie mille!!
ps: la soluzione riportata sopra è sbagliata (ho dimenticato 1/4) in realtà fa: http://www.wolframalpha.com/input/?i={{1%2C3%2C-2}%2C{2%2C1%2C-1}}*+1%2F4*{{4%2C8%2C0}%2C{0%2C-2%2C0}%2C{-1%2C-2%2C1}}
Quindi il valore cercato è 3/2.
ps: la soluzione riportata sopra è sbagliata (ho dimenticato 1/4) in realtà fa: http://www.wolframalpha.com/input/?i={{1%2C3%2C-2}%2C{2%2C1%2C-1}}*+1%2F4*{{4%2C8%2C0}%2C{0%2C-2%2C0}%2C{-1%2C-2%2C1}}
Quindi il valore cercato è 3/2.
Guarda, non so se ci siano metodi più svelti. A me non me ne vengono in mente altri...
Ciao
Ciao
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